Упр.17.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/(v2+1)+1/(v3+v2)+1/(v4+v3)+1/(v5+v4)+…+1/(v100+v99);
2) 1/(v5+v2)+1/(v8+v5)+1/(v11+v8)+…+1/(v50+v47).

Подробный ответ

1) Преобразуем каждый член суммы, умножив и разделив на сопряжённое выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}, \quad \ldots \quad \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}. $$

Тогда сумма имеет вид:

$$ (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}). $$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому получаем:

$$ \sqrt{100}-1=10-1=9. $$

2) Аналогично:

$$ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{8-5}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{11-8}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}, $$
$$ \ldots,\quad \frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{50-47}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}. $$

Складываем:

$$ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}+\cdots+\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3} $$
$$ =\frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3}. $$

Так как $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$ то

$$ \frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}. $$