Упр.17.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) ((8va)/(va+7)-(15va)/(a+14va+49)) :(8va+41)/(a-49)+(7va-49)/(va+7)=va-7;
2) (ava+27)/(va-vb)•((va-3)/(a-3va+9)-(vab-9)/(ava+27))=va;
3) (vx-(vxy+y)/(vx+vy)) :(vx/(vx+vy)+vy/(vx-vy)-(2vxy)/(x-y))=vx+vy;
4) (vx-2)/(4x-16vx+16) :(vx/(2vx-4)-(x-12)/(2x-8)-2/(x+2vx))=vx/4(vx+vy) .

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:
$$\left(\frac{8\sqrt a}{\sqrt a+7}-\frac{15\sqrt a}{a+14\sqrt a+49}\right):\frac{8\sqrt a+41}{a-49}+\frac{7\sqrt a-49}{\sqrt a+7}.$$
Так как
$$a+14\sqrt a+49=(\sqrt a+7)^2,\qquad a-49=(\sqrt a-7)(\sqrt a+7),$$
то
$$ \frac{8\sqrt a}{\sqrt a+7}-\frac{15\sqrt a}{(\sqrt a+7)^2} =\frac{8\sqrt a(\sqrt a+7)-15\sqrt a}{(\sqrt a+7)^2} =\frac{\sqrt a(8\sqrt a+41)}{(\sqrt a+7)^2}. $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt a(8\sqrt a+41)}{(\sqrt a+7)^2}:\frac{8\sqrt a+41}{(\sqrt a-7)(\sqrt a+7)} =\frac{\sqrt a(\sqrt a-7)}{\sqrt a+7}. $$
Следовательно,
$$ \frac{\sqrt a(\sqrt a-7)}{\sqrt a+7}+\frac{7\sqrt a-49}{\sqrt a+7} =\frac{a-7\sqrt a+7\sqrt a-49}{\sqrt a+7} =\frac{a-49}{\sqrt a+7} =\sqrt a-7. $$
Рассмотрим выражение:
$$\frac{a\sqrt a+27}{\sqrt a-\sqrt b}\cdot\left(\frac{\sqrt a-3}{a-3\sqrt a+9}-\frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt a+27}\right).$$
Заметим, что
$$a-3\sqrt a+9=(\sqrt a-3)(a+\sqrt a+3),\qquad a\sqrt a+27=(\sqrt a)^3+3^3.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{\sqrt a-3}{a-3\sqrt a+9}-\frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt a+27} =\frac{a-\sqrt{ab}}{\sqrt a^3+27}. $$
Тогда
$$ \frac{a\sqrt a+27}{\sqrt a-\sqrt b}\cdot \frac{a-\sqrt{ab}}{\sqrt a^3+27} =\frac{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{\sqrt a-\sqrt b} =\sqrt a. $$
Преобразуем левую часть:
$$\left(\sqrt x-\frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt x+\sqrt y}\right):\left(\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}\right).$$
Так как
$$x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y),$$
то
$$ \frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} =\frac{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)+\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)-2\sqrt{xy}}{(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)}. $$
Числитель равен
$$ x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+y-2\sqrt{xy}=x+y-2\sqrt{xy}=(\sqrt x-\sqrt y)^2. $$
Поэтому
$$ \frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} =\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}. $$
А первая скобка:
$$ \sqrt x-\frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt x+\sqrt y} =\frac{x+\sqrt{xy}-\sqrt{xy}-y}{\sqrt x+\sqrt y} =\frac{x-y}{\sqrt x+\sqrt y}. $$
Тогда
$$ \frac{x-y}{\sqrt x+\sqrt y}:\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y} =\frac{x-y}{\sqrt x-\sqrt y} =\sqrt x+\sqrt y. $$
В учебнике здесь допущена опечатка: в ответе должно быть $$\frac{\sqrt x}{4(\sqrt x+2)}.$$
Рассмотрим выражение:
$$\frac{\sqrt x-2}{4x-16\sqrt x+16}:\left(\frac{\sqrt x}{2\sqrt x-4}-\frac{x-12}{2x-8}-\frac{2}{x+2\sqrt x}\right).$$
Так как
$$4x-16\sqrt x+16=4(\sqrt x-2)^2,\quad 2\sqrt x-4=2(\sqrt x-2),\quad 2x-8=2(x-4),\quad x+2\sqrt x=\sqrt x(\sqrt x+2),$$
то после приведения к общему знаменателю получаем
$$ \frac{\sqrt x-2}{4(\sqrt x-2)^2}:\frac{2(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{2\sqrt x(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)} =\frac{\sqrt x-2}{4(\sqrt x-2)^2}:\frac{1}{\sqrt x} =\frac{\sqrt x}{4(\sqrt x+2)}. $$