Упр.17.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Преобразуем левую часть:
   $$\left(\frac{8\sqrt a}{\sqrt a+7}-\frac{15\sqrt a}{a+14\sqrt a+49}\right):\frac{8\sqrt a+41}{a-49}+\frac{7\sqrt a-49}{\sqrt a+7}.$$
   Так как
   $$a+14\sqrt a+49=(\sqrt a+7)^2,\qquad a-49=(\sqrt a-7)(\sqrt a+7),$$
   то
   $$\frac{8\sqrt a}{\sqrt a+7}-\frac{15\sqrt a}{(\sqrt a+7)^2} =\frac{8\sqrt a(\sqrt a+7)-15\sqrt a}{(\sqrt a+7)^2} =\frac{\sqrt a(8\sqrt a+41)}{(\sqrt a+7)^2}.$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt a(8\sqrt a+41)}{(\sqrt a+7)^2}:\frac{8\sqrt a+41}{(\sqrt a-7)(\sqrt a+7)} =\frac{\sqrt a(\sqrt a-7)}{\sqrt a+7}.$$
   Следовательно,
   $$\frac{\sqrt a(\sqrt a-7)}{\sqrt a+7}+\frac{7\sqrt a-49}{\sqrt a+7} =\frac{a-7\sqrt a+7\sqrt a-49}{\sqrt a+7} =\frac{a-49}{\sqrt a+7} =\sqrt a-7.$$

2. Рассмотрим выражение:
   $$\frac{a\sqrt a+27}{\sqrt a-\sqrt b}\cdot\left(\frac{\sqrt a-3}{a-3\sqrt a+9}-\frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt a+27}\right).$$
   Заметим, что
   $$a-3\sqrt a+9=(\sqrt a-3)(a+\sqrt a+3),\qquad a\sqrt a+27=(\sqrt a)^3+3^3.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\sqrt a-3}{a-3\sqrt a+9}-\frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt a+27} =\frac{a-\sqrt{ab}}{\sqrt a^3+27}.$$
   Тогда
   $$\frac{a\sqrt a+27}{\sqrt a-\sqrt b}\cdot \frac{a-\sqrt{ab}}{\sqrt a^3+27} =\frac{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{\sqrt a-\sqrt b} =\sqrt a.$$

3. Преобразуем левую часть:
   $$\left(\sqrt x-\frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt x+\sqrt y}\right):\left(\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}\right).$$
   Так как
   $$x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y),$$
   то
   $$\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} =\frac{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)+\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)-2\sqrt{xy}}{(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)}.$$
   Числитель равен
   $$x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+y-2\sqrt{xy}=x+y-2\sqrt{xy}=(\sqrt x-\sqrt y)^2.$$
   Поэтому
   $$\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} =\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}.$$
   А первая скобка:
   $$\sqrt x-\frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt x+\sqrt y} =\frac{x+\sqrt{xy}-\sqrt{xy}-y}{\sqrt x+\sqrt y} =\frac{x-y}{\sqrt x+\sqrt y}.$$
   Тогда
   $$\frac{x-y}{\sqrt x+\sqrt y}:\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y} =\frac{x-y}{\sqrt x-\sqrt y} =\sqrt x+\sqrt y.$$

4. В учебнике здесь допущена опечатка: в ответе должно быть $$\frac{\sqrt x}{4(\sqrt x+2)}.$$
   Рассмотрим выражение:
   $$\frac{\sqrt x-2}{4x-16\sqrt x+16}:\left(\frac{\sqrt x}{2\sqrt x-4}-\frac{x-12}{2x-8}-\frac{2}{x+2\sqrt x}\right).$$
   Так как
   $$4x-16\sqrt x+16=4(\sqrt x-2)^2,\quad 2\sqrt x-4=2(\sqrt x-2),\quad 2x-8=2(x-4),\quad x+2\sqrt x=\sqrt x(\sqrt x+2),$$
   то после приведения к общему знаменателю получаем
   $$\frac{\sqrt x-2}{4(\sqrt x-2)^2}:\frac{2(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{2\sqrt x(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)} =\frac{\sqrt x-2}{4(\sqrt x-2)^2}:\frac{1}{\sqrt x} =\frac{\sqrt x}{4(\sqrt x+2)}.$$

Ответ

1) $$\sqrt a-7$$; 2) $$\sqrt a$$; 3) $$\sqrt x+\sqrt y$$; 4) $$\frac{\sqrt x}{4(\sqrt x+2)}$$.