Упр.17.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите равенство:

1. $$\frac{2}{3\sqrt{2}+4}-\frac{2}{3\sqrt{2}-4}=-8$$;
2. $$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+4)+2}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+4)-2}=-4$$.

1) Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{2}{3\sqrt{2}+4}-\frac{2}{3\sqrt{2}-4} = \frac{2(3\sqrt{2}-4)-2(3\sqrt{2}+4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}$$

$$=\frac{6\sqrt{2}-8-6\sqrt{2}-8}{(3\sqrt{2})^2-4^2} = \frac{-16}{18-16} = \frac{-16}{2} =-8$$

Следовательно, равенство верно.

2) Аналогично:

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+4+2}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+4-2}} = \frac{\sqrt{3}\bigl(\sqrt{\sqrt{3}+4-2}-\sqrt{\sqrt{3}+4+2}\bigr)}{\sqrt{\sqrt{3}+4+2}\cdot \sqrt{\sqrt{3}+4-2}}$$

$$= \frac{\sqrt{3}\bigl(\sqrt{\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}+6}\bigr)}{\sqrt{(\sqrt{3}+6)(\sqrt{3}+2)}}$$

Упростим знаменатель:

$$(\sqrt{3}+6)(\sqrt{3}+2)=3+2\sqrt{3}+6\sqrt{3}+12=15+8\sqrt{3}$$

В исходном выражении после преобразований получаем:

$$\frac{-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-4$$

Значит, и это равенство верно.

Ответ

$$1)\ -8;\qquad 2)\ -4.$$