Упр.17.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Сократите дробь:

1. $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}$$;
2. $$\frac{m\sqrt{m}-27}{\sqrt{m}-3}$$;
3. $$\frac{a-2\sqrt{a}+4}{a\sqrt{a}+8}$$.

1. $$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a\cdot a+\sqrt b\cdot b}$$
   Представим знаменатель как сумму кубов:
   $$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b)}=\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b}.$$

2. $$\frac{m\sqrt m-27}{\sqrt m-3}=\frac{(\sqrt m)^3-3^3}{\sqrt m-3}.$$
   Используем формулу разности кубов:
   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$
   Тогда
   $$\frac{(\sqrt m)^3-3^3}{\sqrt m-3}=\frac{(\sqrt m-3)(m+3\sqrt m+9)}{\sqrt m-3}=m+3\sqrt m+9.$$

3. $$\frac{a-2\sqrt a+4}{\sqrt{a^3}+2^3}=\frac{a-2\sqrt a+4}{(\sqrt a)^3+2^3}.$$
   По формуле суммы кубов:
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
   получаем
   $$\sqrt{a^3}+2^3=(\sqrt a+2)(a-2\sqrt a+4).$$
   Тогда
   $$\frac{a-2\sqrt a+4}{\sqrt{a^3}+2^3}=\frac{a-2\sqrt a+4}{(\sqrt a+2)(a-2\sqrt a+4)}=\frac{1}{\sqrt a+2}.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b}$$
2) $$m+3\sqrt m+9$$
3) $$\frac{1}{\sqrt a+2}$$