Упр.169 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(a2+a)/(2a-12) * (6a+6)/(2a+12) : (9a3+18a2+9a)/(a2-36) = 1/6.

1) Решим уравнение:

$$ \frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{x+5}{6} $$
Умножим обе части на $$6$$:
$$ 2(2x+1)-3(x-4)=x+5 $$
Раскроем скобки:
$$ 4x+2-3x+12=x+5 $$
$$ x+14=x+5 $$
$$ 14=5 $$
Получили неверное равенство, значит, уравнение не имеет корней.

2) Докажем тождество:

$$ \frac{a^2+a}{2a-12}\cdot\frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}=\frac16 $$

Разложим на множители:

$$ a^2+a=a(a+1), \quad 2a-12=2(a-6), \quad 6a+6=6(a+1), $$
$$ 2a+12=2(a+6), \quad 9a^3+18a^2+9a=9a(a+1)^2, \quad a^2-36=(a-6)(a+6) $$
Тогда
$$ \frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot\frac{6(a+1)}{2(a+6)}:\frac{9a(a+1)^2}{(a-6)(a+6)} $$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$ \frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot\frac{6(a+1)}{2(a+6)}\cdot\frac{(a-6)(a+6)}{9a(a+1)^2} $$
Сократим:
$$ \frac{6}{4\cdot 9}=\frac{6}{36}=\frac16 $$
Тождество доказано.

Ответ: уравнение не имеет корней; тождество верно.