Упр.169 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что уравнение $$\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{x+5}{6}$$ не имеет корней.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите тождество: $$\frac{a^2+a}{2a-12}\cdot\frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}=\frac{1}{6}$$.

1) Решим уравнение:

$$\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{x+5}{6}$$
Умножим обе части на $$6$$:
$$2(2x+1)-3(x-4)=x+5$$
Раскроем скобки:
$$4x+2-3x+12=x+5$$
$$x+14=x+5$$
$$14=5$$
Получили неверное равенство, значит, уравнение не имеет корней.

2) Докажем тождество:

$$\frac{a^2+a}{2a-12}\cdot\frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}=\frac16$$

Разложим на множители:

$$a^2+a=a(a+1), \quad 2a-12=2(a-6), \quad 6a+6=6(a+1),$$
$$2a+12=2(a+6), \quad 9a^3+18a^2+9a=9a(a+1)^2, \quad a^2-36=(a-6)(a+6)$$
Тогда
$$\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot\frac{6(a+1)}{2(a+6)}:\frac{9a(a+1)^2}{(a-6)(a+6)}$$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot\frac{6(a+1)}{2(a+6)}\cdot\frac{(a-6)(a+6)}{9a(a+1)^2}$$
Сократим:
$$\frac{6}{4\cdot 9}=\frac{6}{36}=\frac16$$
Тождество доказано.

Ответ: уравнение не имеет корней; тождество верно.