Упр.163 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Дано: х2 + 1/x2 = 6. Найдите значение выражения x — 1/x. Известно, что 3х + 1/x= -4. Найдите значение выражения 9×2 + 1/х2.

1) Пусть $$t=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$ x^2+\frac{1}{x^2}= \left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=t^2+2. $$

По условию $$x^2+\frac{1}{x^2}=6,$$ значит

$$ t^2+2=6 $$
$$ t^2=4 $$
$$ t=2 \text{ или } t=-2. $$

Следовательно,

$$ x-\frac{1}{x}=2 \text{ или } x-\frac{1}{x}=-2. $$

2) Пусть $$3x+\frac{1}{x}=-4.$$ Тогда

$$ 9x^2+\frac{1}{x^2}=\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2-6. $$

Подставим значение:

$$ 9x^2+\frac{1}{x^2}=(-4)^2-6=16-6=10. $$

Ответ

1) $$2$$ или $$-2$$; 2) $$10$$.