Упр.160 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x-\frac{1}{x}=9$$. Найдите значение выражения $$x^2+\frac{1}{x^2}$$.
2. Упростите выражение и найдите его значение:
   1) $$\frac{a^2-81}{a^2-8a}:\frac{a-9}{a^2-64}$$, если $$a=-4$$;
   2) $$\frac{x}{4x^2-4y^2}:\frac{1}{6x+6y}$$, если $$x=4{,}2$$, $$y=-2{,}8$$.

Пусть $$x-\frac{1}{x}=9.$$ Тогда возведём обе части в квадрат:

$$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=9^2$$

$$x^2-2+\frac{1}{x^2}=81$$

$$x^2+\frac{1}{x^2}=81+2=83.$$

Ответ: $$83$$.

1) Упростим выражение:

$$\frac{a^2-81}{a^2-8a}:\frac{a-9}{a^2-64}$$

Разложим на множители:

$$a^2-81=(a-9)(a+9), \quad a^2-8a=a(a-8), \quad a^2-64=(a-8)(a+8).$$

Тогда

$$\frac{(a-9)(a+9)}{a(a-8)}\cdot \frac{(a-8)(a+8)}{a-9}=\frac{(a+9)(a+8)}{a}.$$

При $$a=-4$$ получаем:

$$\frac{(-4+9)(-4+8)}{-4}=\frac{5\cdot 4}{-4}=-5.$$

Ответ: $$-5$$.

2) Упростим выражение:

$$\frac{x}{4x^2-4y^2}:\frac{1}{6x+6y}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$4x^2-4y^2=4(x-y)(x+y), \quad 6x+6y=6(x+y).$$

Тогда

$$\frac{x}{4(x-y)(x+y)}\cdot 6(x+y)=\frac{3x}{2(x-y)}.$$

Подставим $$x=4{,}2$$, $$y=-2{,}8$$:

$$\frac{3\cdot 4{,}2}{2(4{,}2-(-2{,}8))}=\frac{12{,}6}{2\cdot 7}=\frac{12{,}6}{14}=0{,}9.$$

Ответ: $$0{,}9$$.