Упр.16.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 16.39. Найдите все двузначные натуральные числа, любая натуральная степень которых оканчивается двумя цифрами, образующими это двузначное число.

Пусть двузначное число равно $$n=\overline{ab}.$$ Тогда для некоторой натуральной степени $$x$$ его степень оканчивается теми же двумя цифрами:

$$n^x=\overline{cdab}.$$

Следовательно,

$$n^x-n=\overline{cdab}-\overline{ab}=\overline{cd00},$$

то есть число $$n^x-n$$ оканчивается на $$00$$. Значит, оно делится на $$100$$, а значит, кратно $$25$$ и $$4$$.

Так как

$$n^x-n=n(n^{x-1}-1),$$

то проверим двузначные числа, кратные $$25$$: $$25,\ 50,\ 75.$$

Проверим их в степени $$2$$:

$$25^2=625$$ — подходит;

$$50^2=2500$$ — не подходит;

$$75^2=5625$$ — не подходит.

Теперь рассмотрим числа, соседние с кратными $$25$$: $$24,\ 26,\ 49,\ 51,\ 74,\ 76.$$

Из них числа $$26,\ 49,\ 51,\ 74$$ не кратны $$4$$, значит, не подходят.

Проверим оставшиеся числа в степени $$2$$:

$$24^2=576$$ — не подходит;

$$76^2=5776$$ — подходит.

Итак, условию удовлетворяют числа $$25$$ и $$76.$$

Ответ

$$25,\ 76$$