Упр.16.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$\left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{125-a^3}{5+a}$$ при $$a=4{,}5$$.

Упростим выражение:

$$\left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{125-a^3}{5+a}$$
при $$a=4{,}5$$.

Разложим на множители:

$$a^2-10a+25=(a-5)^2,\qquad a^2-25=(a-5)(a+5),\qquad 125-a^3=(5-a)(25+5a+a^2).$$

Сложим дроби в скобках:

$$\frac{a^2-5a}{(a-5)^2}+\frac{25}{(a-5)(a+5)} = \frac{(a^2-5a)(a+5)+25(a-5)}{(a-5)^2(a+5)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a^2-5a)(a+5)+25(a-5)=a^3+5a^2-5a^2-25a+25a-125=a^3-125.$$

Тогда

$$\left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{125-a^3}{5+a} = \frac{a^3-125}{(a-5)^2(a+5)}\cdot\frac{a+5}{125-a^3}.$$

Сократим:

$$\frac{a^3-125}{125-a^3}=-1,$$

поэтому

$$-\frac{1}{(a-5)^2}.$$

Подставим $$a=4{,}5$$:

$$-\frac{1}{(4{,}5-5)^2}=-\frac{1}{(-0{,}5)^2}=-\frac{1}{0{,}25}=-4.$$

Ответ

$$-4$$