Упр.16.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   1) $$\sqrt{a^2-2a+1+\sqrt{4a^2-12a+9}}$$, если $$a\ge\frac{3}{2}$$;
   
   2) $$\sqrt{b^2+9b+17-\sqrt{b^2+2b+1}}$$, если $$b\ge-1$$;
   
   3) $$\sqrt{b^2+4b+\sqrt{9b^4+6b^2+1}}$$.

1. $$\sqrt{a^2-2a+1+\sqrt{4a^2-12a+9}}, \quad a\le \frac32.$$

   $$4a^2-12a+9=(2a-3)^2,$$
   значит
   $$\sqrt{4a^2-12a+9}=|2a-3|.$$
   Так как $$a\le \frac32,$$ то $$2a-3\le 0,$$ следовательно
   $$|2a-3|=3-2a.$$

   Тогда
   $$\sqrt{a^2-2a+1+\sqrt{4a^2-12a+9}} =\sqrt{a^2-2a+1+3-2a} =\sqrt{a^2-4a+4} =\sqrt{(a-2)^2} =|a-2|.$$
   Поскольку $$a\le \frac32<2,$$ получаем $$|a-2|=2-a.$$

2. $$\sqrt{b^2+9b+17-\sqrt{b^2+2b+1}}, \quad b\ge -1.$$

   $$b^2+2b+1=(b+1)^2,$$
   значит
   $$\sqrt{b^2+2b+1}=|b+1|.$$
   Так как $$b\ge -1,$$ то $$|b+1|=b+1.$$

   Тогда
   $$\sqrt{b^2+9b+17-\sqrt{b^2+2b+1}} =\sqrt{b^2+9b+17-(b+1)} =\sqrt{b^2+8b+16} =\sqrt{(b+4)^2} =|b+4|.$$
   При $$b\ge -1$$ имеем $$b+4>0,$$ значит
   $$|b+4|=b+4.$$

3. $$\sqrt{b^2+4b+\sqrt{9b^4+6b^2+1}}.$$

   $$9b^4+6b^2+1=(3b^2+1)^2,$$
   поэтому
   $$\sqrt{9b^4+6b^2+1}=|3b^2+1|=3b^2+1.$$

   Тогда
   $$\sqrt{b^2+4b+\sqrt{9b^4+6b^2+1}} =\sqrt{b^2+4b+3b^2+1} =\sqrt{4b^2+4b+1} =\sqrt{(2b+1)^2} =|2b+1|.$$

   Следовательно,
   $$|2b+1|= \begin{cases} 2b+1, & b\ge -\frac12,\\ -2b-1, & b<-\frac12. \end{cases}$$

Ответ

1) $$2-a$$; 2) $$b+4$$; 3) $$|2b+1|$$, то есть
$$\begin{cases} 2b+1, & b\ge -\frac12,\\ -2b-1, & b<-\frac12. \end{cases}$$