Упр.16.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v(x^2 )=6x-10;
2) v(x^2 )=x+8;
3) v(4x^2-4x+1)=x+1;
4) v(9-6x+x^2 )=2x-1.

1. $$\sqrt{x^2}=6x-10.$$

   Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ получаем:

   $$|x|=6x-10.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x \ge 0,$$ то $$x=6x-10,$$ откуда
   $$-5x=-10,$$
   $$x=2.$$

   Если $$x<0,$$ то $$-x=6x-10,$$ откуда
   $$-7x=-10,$$
   $$x=\frac{10}{7},$$
   но это не подходит, так как $$x<0.$$

   Значит, $$x=2.$$

2. $$\sqrt{x^2}=x+8.$$

   То есть

   $$|x|=x+8.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x \ge 0,$$ то $$x=x+8,$$ откуда
   $$0x=8,$$
   корней нет.

   Если $$x<0,$$ то $$-x=x+8,$$ откуда
   $$-2x=8,$$
   $$x=-4.$$

   Проверка: $$-4<0,$$ значит, корень подходит.

3. $$\sqrt{4x^2-4x+1}=x+1.$$

   Заметим, что

   $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2,$$

   поэтому

   $$\sqrt{(2x-1)^2}=x+1,$$

   $$|2x-1|=x+1.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x \ge \frac12,$$ то $$2x-1=x+1,$$ откуда
   $$x=2.$$

   Если $$x<\frac12,$$ то $$1-2x=x+1,$$ откуда
   $$-3x=0,$$
   $$x=0.$$

   Оба значения подходят.

4. $$\sqrt{9-6x+x^2}=2x-1.$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$9-6x+x^2=(3-x)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{(3-x)^2}=2x-1,$$

   $$|3-x|=2x-1.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x \ge 3,$$ то $$3-x=2x-1,$$ откуда
   $$-3x=-4,$$
   $$x=\frac43,$$
   но это не подходит, так как $$\frac43<3.$$

   Если $$x<3,$$ то $$x-3=2x-1,$$ откуда
   $$-x=2,$$
   $$x=-2.$$

   Проверка показывает, что $$x=-2$$ подходит.

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=-4$$; 3) $$x=0,\,2$$; 4) $$x=-2$$.