Упр.16.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ выполняется равенство:
   1. $$\sqrt{a^{10}}=a^5$$;
   2. $$\sqrt{a^{10}}=-a^5$$;
   3. $$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$$;
   4. $$\sqrt{a^2}=(\sqrt{-a})^2$$;
   5. $$\sqrt{(a+1)^2}=-a-1$$;
   6. $$\sqrt{(1-a)^{10}}=(1-a)^5$$;
   7. $$\sqrt{(a-2)(a-3)}=\sqrt{2-a}\cdot\sqrt{3-a}$$;
   8. $$\sqrt{a(a+1)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a+1}$$?

1. $$\sqrt{a^{10}}=a^5$$
   Так как $$\sqrt{a^{10}}=|a^5|,$$ то равенство выполняется, когда $$a^5\ge 0,$$ то есть при $$a\ge 0.$$
2. $$\sqrt{a^{10}}=-a^5$$
   Имеем $$\sqrt{a^{10}}=|a^5|,$$ значит нужно, чтобы $$|a^5|=-a^5,$$ то есть $$a^5\le 0.$$
   Следовательно, $$a\le 0.$$
3. $$\sqrt{a^2}=(\sqrt a)^2$$
   Левая часть равна $$|a|,$$ а правая определена только при $$a\ge 0$$ и тогда равна $$a.$$
   Значит, равенство выполняется при $$a\ge 0.$$
4. $$\sqrt{a^2}=(\sqrt{-a})^2$$
   Правая часть определена при $$-a\ge 0,$$ то есть при $$a\le 0,$$ и равна $$-a.$$
   Тогда $$|a|=-a,$$ что верно при $$a\le 0.$$
5. $$\sqrt{(a+1)^2}=-a-1$$
   Левая часть равна $$|a+1|,$$ поэтому нужно
   $$|a+1|=-a-1.$$
   Это возможно, когда $$a+1\le 0,$$ то есть при $$a\le -1.$$
6. $$\sqrt{(1-a)^{10}}=(1-a)^5$$
   Так как
   $$\sqrt{(1-a)^{10}}=|(1-a)^5|,$$
   равенство выполняется, когда
   $$(1-a)^5\ge 0,$$
   то есть при $$1-a\ge 0,$$ или $$a\le 1.$$
7. $$\sqrt{(a-2)(a-3)}=\sqrt{2-a}\cdot\sqrt{3-a}$$
   Чтобы правая часть была определена, нужно
   $$2-a\ge 0,\quad 3-a\ge 0,$$
   то есть $$a\le 2.$$
   Тогда
   $$(a-2)(a-3)=(2-a)(3-a),$$
   и равенство выполняется при $$a\le 2.$$
8. $$\sqrt{a(a+1)}=\sqrt a\cdot\sqrt{a+1}$$
   Для определения обеих частей нужно
   $$a\ge 0,\quad a+1\ge 0.$$
   Совместно это даёт $$a\ge 0.$$
   Тогда равенство верно.

Ответ

1) $$a\ge 0$$; 2) $$a\le 0$$; 3) $$a\ge 0$$; 4) $$a\le 0$$; 5) $$a\le -1$$; 6) $$a\le 1$$; 7) $$a\le 2$$; 8) $$a\ge 0$$.