Упр.16.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ выполняется равенство:
   1) $$\sqrt{(a+3)^6}=(a+3)^3$$;
   2) $$\sqrt{(1-a)^4}=(a-1)^2$$;
   3) $$\sqrt{a-3}\cdot\sqrt{a-3}=a-3$$;
   4) $$\sqrt{a(a-1)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a-1}$$;
   5) $$\sqrt{a(a-1)}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{1-a}$$;
   6) $$\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{2-a}}=\sqrt{\frac{a-1}{2-a}}$$?

1. $$\sqrt{(a+3)^6}=(a+3)^3$$
   
   Чтобы можно было убрать модуль, нужно
   $$a+3\ge 0,$$
   то есть
   $$a\ge -3.$$
2. $$\sqrt{(1-a)^4}=(a-1)^2$$
   
   Так как
   $$\sqrt{(1-a)^4}=\sqrt{\bigl((1-a)^2\bigr)^2}=(1-a)^2=(a-1)^2,$$
   равенство верно при любом $$a.$$
3. $$\sqrt{a-3}\cdot \sqrt{a-3}=a-3$$
   
   Это верно, когда выражение под корнем неотрицательно:
   $$a-3\ge 0,$$
   значит
   $$a\ge 3.$$
4. $$\sqrt{a(a-1)}=\sqrt a\cdot \sqrt{a-1}$$
   
   Для этого нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
   $$a\ge 0,\qquad a-1\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$a\ge 1.$$
5. $$\sqrt{a(a-1)}=\sqrt{-a}\cdot \sqrt{1-a}$$
   
   Здесь должны выполняться условия:
   $$a\ge 0,\qquad a-1\ge 0,$$
   и одновременно
   $$-a\ge 0,\qquad 1-a\ge 0.$$
   Первые два условия дают $$a\ge 1,$$ а вторые — $$a\le 0.$$
   Совместно это невозможно, значит таких $$a$$ нет.
6. $$\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{2-a}}=\sqrt{\frac{a-1}{2-a}}$$
   
   Нужно, чтобы
   $$a-1\ge 0,\qquad 2-a\ge 0,$$
   а также
   $$2-a\ne 0.$$
   Тогда
   $$a\ge 1,\qquad a\le 2,\qquad a\ne 2,$$
   то есть
   $$1\le a<2.$$

Ответ

1) $$a\ge -3$$; 2) при любом $$a$$; 3) $$a\ge 3$$; 4) $$a\ge 1$$; 5) таких $$a$$ нет; 6) $$1\le a<2$$.