Упр.15.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Существует ли такое число $$x$$, что значения выражений: 1) $$x+\sqrt{3}$$ и $$\frac{1}{x}-\sqrt{3}$$; 2) $$x+\sqrt{3}$$ и $$\frac{1}{x}+\sqrt{3}$$ являются целыми числами?

1) Пусть $$x+\sqrt{3}=a,$$ $$\frac{1}{x}-\sqrt{3}=b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — целые числа.

Тогда $$x=a-\sqrt{3},$$ $$\frac{1}{x}=b+\sqrt{3}.$$

Перемножим эти выражения:

$$x\cdot \frac{1}{x}=(a-\sqrt{3})(b+\sqrt{3})$$

$$1=ab+a\sqrt{3}-b\sqrt{3}-3$$

$$4=ab+\sqrt{3}(a-b)$$

Так как левая часть — целое число, то должно быть $$a-b=0,$$ то есть $$a=b.$$ Тогда

$$ab=4,\quad a=b$$

Отсюда

$$a^2=4,\quad a=\pm 2.$$

Значит, такие числа существуют, например:

$$a=2,\quad b=2 \Rightarrow x=2-\sqrt{3}$$

или

$$a=-2,\quad b=-2 \Rightarrow x=-2-\sqrt{3}.$$

Следовательно, число $$x$$ существует.

2) Пусть $$x+\sqrt{3}=a,$$ $$\frac{1}{x}+\sqrt{3}=b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — целые числа.

Тогда $$x=a-\sqrt{3},$$ $$\frac{1}{x}=b-\sqrt{3}.$$

Перемножим:

$$x\cdot \frac{1}{x}=(a-\sqrt{3})(b-\sqrt{3})$$

$$1=ab-a\sqrt{3}-b\sqrt{3}+3$$

$$-2=ab-\sqrt{3}(a+b)$$

Так как левая часть — целое число, то должно быть $$a+b=0,$$ то есть $$a=-b.$$ Тогда

$$ab=-2,\quad a=-b$$

$$-b^2=-2,\quad b^2=2$$

Но $$\sqrt{2}$$ не является целым числом, значит, таких целых $$a$$ и $$b$$ не существует. Следовательно, такого числа $$x$$ нет.

Ответ

1) существует; 2) не существует.