Упр.15.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x+v3 и 1/x-v3; 2) x+v3 и 1/x+v3 являются целыми числами?

1) Пусть $$x+\sqrt{3}=a,$$ $$\frac{1}{x}-\sqrt{3}=b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — целые числа.

Тогда $$x=a-\sqrt{3},$$ $$\frac{1}{x}=b+\sqrt{3}.$$

Перемножим эти выражения:

$$ x\cdot \frac{1}{x}=(a-\sqrt{3})(b+\sqrt{3}) $$

$$ 1=ab+a\sqrt{3}-b\sqrt{3}-3 $$

$$ 4=ab+\sqrt{3}(a-b) $$

Так как левая часть — целое число, то должно быть $$a-b=0,$$ то есть $$a=b.$$ Тогда

$$ ab=4,\quad a=b $$

Отсюда

$$ a^2=4,\quad a=\pm 2. $$

Значит, такие числа существуют, например:

$$ a=2,\quad b=2 \Rightarrow x=2-\sqrt{3} $$

или

$$ a=-2,\quad b=-2 \Rightarrow x=-2-\sqrt{3}. $$

Следовательно, число $$x$$ существует.

2) Пусть $$x+\sqrt{3}=a,$$ $$\frac{1}{x}+\sqrt{3}=b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — целые числа.

Тогда $$x=a-\sqrt{3},$$ $$\frac{1}{x}=b-\sqrt{3}.$$

Перемножим:

$$ x\cdot \frac{1}{x}=(a-\sqrt{3})(b-\sqrt{3}) $$

$$ 1=ab-a\sqrt{3}-b\sqrt{3}+3 $$

$$ -2=ab-\sqrt{3}(a+b) $$

Так как левая часть — целое число, то должно быть $$a+b=0,$$ то есть $$a=-b.$$ Тогда

$$ ab=-2,\quad a=-b $$

$$ -b^2=-2,\quad b^2=2 $$

Но $$\sqrt{2}$$ не является целым числом, значит, таких целых $$a$$ и $$b$$ не существует. Следовательно, такого числа $$x$$ нет.

Ответ

1) существует; 2) не существует.