Упр.15.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 15.25. Существует ли такое число x, что значения выражений x+v2 и x^3 +v2 — рациональные числа?

Пусть $$x+\sqrt{2}=a,$$ где $$a$$ — рациональное число. Тогда

$$x=a-\sqrt{2}.$$

Рассмотрим выражение $$x^3+\sqrt{2}$$:

$$ x^3+\sqrt{2}=(a-\sqrt{2})^3+\sqrt{2} $$
$$ =a^3-3a^2\sqrt{2}+3a(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3+\sqrt{2} $$
$$ =a^3-3a^2\sqrt{2}+6a-2\sqrt{2}+\sqrt{2} $$
$$ =a^3+6a-\sqrt{2}(3a^2+1). $$

Чтобы число $$a^3+6a-\sqrt{2}(3a^2+1)$$ было рациональным, должно выполняться

$$3a^2+1=0.$$

Но тогда

$$a^2=-\frac{1}{3},$$

что невозможно для действительного числа $$a$$. Значит, такого рационального $$a$$ не существует, а следовательно, не существует и такого числа $$x$$.

Ответ

Не существует.