Упр.15.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Существует ли такое число $$x$$, что значения выражений $$x+\sqrt{2}$$ и $$x^3+\sqrt{2}$$ — рациональные числа?

Пусть $$x+\sqrt{2}=a,$$ где $$a$$ — рациональное число. Тогда

$$x=a-\sqrt{2}.$$

Рассмотрим выражение $$x^3+\sqrt{2}$$:

$$x^3+\sqrt{2}=(a-\sqrt{2})^3+\sqrt{2}$$
$$=a^3-3a^2\sqrt{2}+3a(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3+\sqrt{2}$$
$$=a^3-3a^2\sqrt{2}+6a-2\sqrt{2}+\sqrt{2}$$
$$=a^3+6a-\sqrt{2}(3a^2+1).$$

Чтобы число $$a^3+6a-\sqrt{2}(3a^2+1)$$ было рациональным, должно выполняться

$$3a^2+1=0.$$

Но тогда

$$a^2=-\frac{1}{3},$$

что невозможно для действительного числа $$a$$. Значит, такого рационального $$a$$ не существует, а следовательно, не существует и такого числа $$x$$.

Ответ

Не существует.