Упр.15.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 15.24. Докажите, что между любыми двумя рациональными числами найдутся как рациональное число, так и иррациональное число. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 15-24 827

Пусть $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, причём $$a<b$$.

Тогда число

$$\frac{a+b}{2}$$

является рациональным, так как сумма и половина рациональных чисел — рациональные числа. Кроме того,

$$a<\frac{a+b}{2}<b.$$

Значит, между числами $$a$$ и $$b$$ найдётся рациональное число.

Теперь рассмотрим число

$$a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}.$$

Так как $$b-a$$ — рациональное число, а $$\sqrt{2}$$ — иррациональное, то число $$\frac{b-a}{\sqrt{2}}$$ иррационально. Следовательно, и число $$a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}$$ иррационально.

Поскольку $$\sqrt{2}>1$$, то

$$0<\frac{b-a}{\sqrt{2}}<b-a,$$

откуда

$$a<a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}<b.$$

Значит, между любыми двумя рациональными числами найдётся и иррациональное число.

Ответ

Между любыми двумя рациональными числами можно указать рациональное число $$\frac{a+b}{2}$$ и иррациональное число $$a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}$$.