Упр.15.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Числа $$a$$, $$b$$ и $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ — рациональные. Докажите, что $$\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{b}$$ — рациональные числа.

Так как $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, то их разность $$a-b$$ тоже рациональна.

По условию число $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ рационально. Тогда

$$a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}).$$

Отсюда

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$

Числитель и знаменатель этой дроби — рациональные числа, значит, $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ рационально.

Теперь имеем систему:

$$\begin{cases} \sqrt{a}+\sqrt{b} \text{ — рационально},\\ \sqrt{a}-\sqrt{b} \text{ — рационально}. \end{cases}$$

Тогда

$$2\sqrt{a}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$

и

$$2\sqrt{b}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$

— рациональные числа. Следовательно, $$\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{b}$$ рациональны.

Ответ

$$\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{b}$$ — рациональные числа.