Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 15.22. Число v2-1 является корнем уравнения x^2 +px+q=0, где p и q — рациональные числа. Докажите, что число -v2-1 также является корнем этого уравнения.

Пусть $$x=\sqrt{2}-1$$ — корень уравнения $$x^2+px+q=0,$$ где $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа. Тогда

$$ (\sqrt{2}-1)^2+p(\sqrt{2}-1)+q=0. $$

Раскроем скобки:

$$ 2-2\sqrt{2}+1+p\sqrt{2}-p+q=0, $$

$$ 3+\sqrt{2}(p-2)-p+q=0. $$

Перенесём рациональные и иррациональные части:

$$ \sqrt{2}(p-2)=p-q-3. $$

Левая часть содержит множитель $$\sqrt{2}$$, а правая часть — рациональное число. Значит, обе части равны нулю:

$$ p-2=0,\qquad p-q-3=0. $$

Отсюда

$$ p=2,\qquad q=-1. $$

Тогда уравнение имеет вид

$$ x^2+2x-1=0. $$

Решим его:

$$ x^2+2x-1=0 $$

$$ x^2+2x+1-2=0 $$

$$ (x+1)^2-2=0 $$

$$ (x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})=0. $$

Следовательно,

$$ x=\sqrt{2}-1 \quad \text{или} \quad x=-\sqrt{2}-1. $$

Значит, число $$-\sqrt{2}-1$$ также является корнем данного уравнения.

Ответ

$$-\sqrt{2}-1$$.