Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Число $$\sqrt{2}-1$$ является корнем уравнения $$x^2+px+q=0$$, где $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа. Докажите, что число $$-\sqrt{2}-1$$ также является корнем этого уравнения.

Пусть $$x=\sqrt{2}-1$$ — корень уравнения $$x^2+px+q=0,$$ где $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа. Тогда

$$(\sqrt{2}-1)^2+p(\sqrt{2}-1)+q=0.$$

Раскроем скобки:

$$2-2\sqrt{2}+1+p\sqrt{2}-p+q=0,$$

$$3+\sqrt{2}(p-2)-p+q=0.$$

Перенесём рациональные и иррациональные части:

$$\sqrt{2}(p-2)=p-q-3.$$

Левая часть содержит множитель $$\sqrt{2}$$, а правая часть — рациональное число. Значит, обе части равны нулю:

$$p-2=0,\qquad p-q-3=0.$$

Отсюда

$$p=2,\qquad q=-1.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$x^2+2x-1=0.$$

Решим его:

$$x^2+2x-1=0$$

$$x^2+2x+1-2=0$$

$$(x+1)^2-2=0$$

$$(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})=0.$$

Следовательно,

$$x=\sqrt{2}-1 \quad \text{или} \quad x=-\sqrt{2}-1.$$

Значит, число $$-\sqrt{2}-1$$ также является корнем данного уравнения.

Ответ

$$-\sqrt{2}-1$$.