Упр.15.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 15.21. Число 1+v2 является корнем уравнения x^2 +px+q=0, где p и q — рациональные числа. Найдите p и q.

Подставим корень $$x=1+\sqrt{2}$$ в уравнение $$x^2+px+q=0$$:

$$ (1+\sqrt{2})^2+(1+\sqrt{2})p+q=0 $$

Раскроем скобки:

$$ 1+2\sqrt{2}+2+p+\sqrt{2}p+q=0 $$

$$ 3+\sqrt{2}(2+p)+p+q=0 $$

Перенесём рациональную и иррациональную части:

$$ \sqrt{2}(2+p)=-(p+q+3) $$

Так как $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа, то левая часть содержит множитель $$\sqrt{2}$$, а правая часть рациональна. Значит, обе части равны нулю:

$$ 2+p=0 $$

$$ p+q+3=0 $$

Отсюда:

$$ p=-2 $$

$$ -2+q+3=0 $$

$$ q=-1 $$

Ответ

$$p=-2,\ q=-1$$