Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Пара чисел $$(\sqrt{2}-1;\,-\sqrt{2})$$ является решением уравнения $$ax+by+c=0$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — рациональные числа. Докажите, что $$a=b=c$$.

Подставим в уравнение $$ax+by+c=0$$ значения $$x=\sqrt{2}-1$$ и $$y=-\sqrt{2}$$:

$$a(\sqrt{2}-1)+b(-\sqrt{2})+c=0$$

$$\sqrt{2}a-a-\sqrt{2}b+c=0$$

$$\sqrt{2}(a-b)=a-c$$

Так как $$a$$, $$b$$, $$c$$ — рациональные числа, то и числа $$a-b$$ и $$a-c$$ рациональны.

Равенство $$\sqrt{2}(a-b)=a-c$$ возможно только тогда, когда обе его части равны нулю:

$$a-b=0,\qquad a-c=0$$

Отсюда

$$a=b,\qquad a=c$$

Следовательно, $$a=b=c$$.

Ответ

$$a=b=c$$