Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 15.20. Пара чисел (v2-1; -v2) является решением уравнения ax+by+c=0, где a, b, c — рациональные числа. Докажите, что a=b=c.

Подставим в уравнение $$ax+by+c=0$$ значения $$x=\sqrt{2}-1$$ и $$y=-\sqrt{2}$$:

$$a(\sqrt{2}-1)+b(-\sqrt{2})+c=0$$

$$\sqrt{2}a-a-\sqrt{2}b+c=0$$

$$\sqrt{2}(a-b)=a-c$$

Так как $$a$$, $$b$$, $$c$$ — рациональные числа, то и числа $$a-b$$ и $$a-c$$ рациональны.

Равенство $$\sqrt{2}(a-b)=a-c$$ возможно только тогда, когда обе его части равны нулю:

$$a-b=0,\qquad a-c=0$$

Отсюда

$$a=b,\qquad a=c$$

Следовательно, $$a=b=c$$.

Ответ

$$a=b=c$$