Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Можно ли представить число $$\sqrt{2}+1$$ в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа?

Пусть $$\sqrt{2}+1=\sqrt{a},$$ где $$a\in \mathbb{Q}.$$ Тогда возведём обе части в квадрат:

$$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{a})^2$$

$$2+2\sqrt{2}+1=a$$

$$3+2\sqrt{2}=a.$$

Но число $$3+2\sqrt{2}$$ иррационально, значит, оно не может быть рациональным числом $$a.$$ Следовательно, число $$\sqrt{2}+1$$ нельзя представить в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа.

Ответ

Нет, нельзя.