Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 15.19. Можно ли представить число v2+1 в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 15-19 827

Подробный ответ

Пусть $$\sqrt{2}+1=\sqrt{a},$$ где $$a\in \mathbb{Q}.$$ Тогда возведём обе части в квадрат:

$$ (\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{a})^2 $$

$$ 2+2\sqrt{2}+1=a $$

$$ 3+2\sqrt{2}=a. $$

Но число $$3+2\sqrt{2}$$ иррационально, значит, оно не может быть рациональным числом $$a.$$ Следовательно, число $$\sqrt{2}+1$$ нельзя представить в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа.