Упр.15.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что число $$\sqrt{3}$$ является иррациональным.

Подробный ответ

Предположим, что число $$\sqrt{3}$$ рациональное. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $$\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа:

$$\sqrt{3}=\frac{m}{n}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2 \\ 3=\frac{m^2}{n^2} \\ m^2=3n^2.$$

Из равенства $$m^2=3n^2$$ следует, что число $$m^2$$ делится на $$3$$, значит, и число $$m$$ делится на $$3$$. Тогда $$m=3k$$, где $$k$$ — натуральное число.

Подставим это в равенство:

$$(3k)^2=3n^2 \\ 9k^2=3n^2 \\ n^2=3k^2.$$

Следовательно, число $$n^2$$ делится на $$3$$, а значит, и число $$n$$ делится на $$3$$.

Получается, что и числитель, и знаменатель дроби $$\frac{m}{n}$$ делятся на $$3$$. Но тогда дробь сокращается, что противоречит тому, что она несократима.

Противоречие означает, что наше предположение неверно. Значит, число $$\sqrt{3}$$ иррационально.