Упр.15.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Известно, что сумма и произведение двух чисел — рациональные числа. Обязательно ли данные числа являются рациональными?

Пусть данные числа равны $$m$$ и $$n$$. По условию

$$m+n \in Q,\quad mn \in Q.$$

Предположим, что одно из чисел иррационально, например $$n \notin Q$$.

Тогда из того, что произведение $$mn$$ — рациональное число, следует, что $$m=0$$, иначе при $$m \in Q$$ и $$m \ne 0$$ число $$n=\dfrac{mn}{m}$$ было бы рациональным. Но если $$m=0$$, то

$$m+n=n,$$

а это противоречит условию $$m+n \in Q$$, так как $$n \notin Q$$.

Значит, предположение неверно, и оба числа должны быть рациональными.

Ответ

Да, обязательно. Оба числа являются рациональными.