Упр.15.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

Пусть $$m$$ — рациональное число, а $$n$$ — иррациональное, то есть $$m \in Q$$, $$n \notin Q$$.

Предположим, что их сумма $$m+n=p$$ является рациональным числом, то есть $$p \in Q$$. Тогда

$$n=p-m.$$

Так как разность двух рациональных чисел является рациональным числом, то $$n \in Q$$. Получили противоречие с тем, что $$n$$ — иррациональное число.

Следовательно, предположение неверно, и сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

Ответ

Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.