Упр.14.49 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение: $$\left(\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5}\right):\left(\frac{28-a^2}{a+5}+a-5\right).$$

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5}\right):\left(\frac{28-a^2}{a+5}+a-5\right)$$

Разложим знаменатель первой дроби и учтём, что $$5-a=-(a-5)$$:

$$\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5} = \frac{a}{(a-5)(a+5)}-\frac{5}{a-5}+\frac{1}{a+5}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a-5(a+5)+(a-5)}{(a-5)(a+5)} = \frac{a-5a-25+a-5}{(a-5)(a+5)} = \frac{-3a-30}{(a-5)(a+5)} = \frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}$$

Теперь упростим вторую скобку:

$$\frac{28-a^2}{a+5}+a-5 = \frac{28-a^2+(a-5)(a+5)}{a+5}$$

$$\frac{28-a^2+a^2-25}{a+5} = \frac{3}{a+5}$$

Тогда всё выражение равно:

$$\frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}:\frac{3}{a+5} = \frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a+5}{3} = -\frac{a+10}{a-5}$$

Запишем ответ в более привычном виде:

$$-\frac{a+10}{a-5}=\frac{a+10}{5-a}$$

Ответ: $$\frac{a+10}{5-a}$$