Упр.14.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) av(x-1)=0; 2) v((a-1)x)=0; 3) av(x-1)=a;
4) v(x-2)=a; 5) (x-1) v(x-a)=0; 6) (2-a) v(x-2)=0.

1. $$a\sqrt{x-1}=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. При этом должно выполняться $$x-1\ge 0$$.

   Если $$a=0$$, то уравнение верно при любом $$x$$, для которого $$x\ge 1$$.

   Если $$a\ne 0$$, то $$\sqrt{x-1}=0$$, откуда $$x-1=0$$, то есть $$x=1$$.

2. $$\sqrt{(a-1)x}=0$$

   Корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:

   $$ (a-1)x=0 $$

   Если $$a=1$$, то получаем тождество $$0=0$$, значит, $$x$$ — любое число.

   Если $$a\ne 1$$, то $$x=0$$.

3. $$a\sqrt{x-1}=a$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$a(\sqrt{x-1}-1)=0$$

   Если $$a=0$$, то уравнение верно при любом $$x$$, где $$x\ge 1$$.

   Если $$a\ne 0$$, то

   $$\sqrt{x-1}-1=0$$
   $$\sqrt{x-1}=1$$
   $$x-1=1$$
   $$x=2$$

4. $$\sqrt{x-2}=a$$

   Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$a\ge 0$$.

   Возведём в квадрат:

   $$x-2=a^2$$
   $$x=a^2+2$$

   При $$a<0$$ корней нет.

5. $$(x-1)\sqrt{x-a}=0$$

   Произведение равно нулю, если:

   • $$x-1=0$$, то есть $$x=1$$;
   • $$\sqrt{x-a}=0$$, то есть $$x-a=0$$, значит $$x=a$$.

   При этом должно выполняться $$x-a\ge 0$$.

   Если $$a\ge 1$$, то подходит только $$x=a$$.

   Если $$a<1$$, то подходят оба значения: $$x=1$$ и $$x=a$$.

6. $$(2-a)\sqrt{x-2}=0$$

   Здесь $$x-2\ge 0$$.

   Если $$a=2$$, то уравнение принимает вид $$0=0$$, значит, $$x\ge 2$$.

   Если $$a\ne 2$$, то

   $$\sqrt{x-2}=0$$
   $$x-2=0$$
   $$x=2$$

Ответ

1) если $$a=0$$, то $$x\ge 1$$; если $$a\ne 0$$, то $$x=1$$;
2) если $$a=1$$, то $$x$$ — любое число; если $$a\ne 1$$, то $$x=0$$;
3) если $$a=0$$, то $$x\ge 1$$; если $$a\ne 0$$, то $$x=2$$;
4) если $$a\ge 0$$, то $$x=a^2+2$$; если $$a<0$$, корней нет;
5) если $$a\ge 1$$, то $$x=a$$; если $$a<1$$, то $$x=1$$ или $$x=a$$;
6) если $$a=2$$, то $$x\ge 2$$; если $$a\ne 2$$, то $$x=2$$.