Упр.14.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 14.46. При каких значениях параметра a уравнение (vx-4)(x-a)=0 имеет только один корень?

Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x}-4\right)(x-a)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ \begin{cases} x \ge 0,\\ \sqrt{x}-4=0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} x \ge 0,\\ x-a=0 \end{cases} $$

Из первого множителя получаем:

$$\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16.$$

Из второго множителя получаем:

$$x=a,$$

причём это значение должно удовлетворять условию $$x \ge 0.$$

Чтобы уравнение имело только один корень, нужно, чтобы второй корень либо совпадал с $$16,$$ либо не существовал в области допустимых значений.

1) Если $$a=16,$$ то оба множителя дают один и тот же корень $$x=16.$$

2) Если $$a<0,$$ то уравнение $$x=a$$ не имеет допустимых решений, так как $$x \ge 0.$$ Тогда остаётся только корень $$x=16.$$

Ответ

$$a=16 \text{ или } a<0.$$