Упр.14.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x+a)(vx-3)=0; 2) (1-1/x)(vx-a)=0; 3) (1-1/x) v(x-a)=0?

Подробный ответ

$$\left(x+a\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$x+a=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x}-3=0.$$
Тогда
$$x=-a,\qquad x=9.$$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:
- если $$a>0,$$ то $$x=-a<0$$ не подходит, остаётся только $$x=9$$;
- если $$a= -9,$$ то оба корня совпадают: $$x=-a=9.$$
Значит, единственное решение уравнение имеет при $$a>0$$ или $$a=-9.$$
$$\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(\sqrt{x}-a\right)=0.$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим множители:
$$1-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=1,$$
$$\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow x=a^2.$$
Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы либо был только один допустимый корень, либо оба корня совпали.
- Если $$a=1,$$ то второй корень тоже равен $$x=1.$$
- Если $$a\le 0,$$ то уравнение $$\sqrt{x}=a$$ не имеет решений, и остаётся только $$x=1.$$
Следовательно, единственное решение получается при $$a=1$$ или $$a\le 0.$$
$$\left(1-\frac{1}{x}\right)\sqrt{x-a}=0.$$
Область определения:
$$x-a\ge 0,\qquad x\ne 0.$$
Рассмотрим множители:
$$1-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=1,$$
$$\sqrt{x-a}=0 \Rightarrow x=a.$$
Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы:
- либо корни совпали: $$a=1,$$
- либо корень $$x=1$$ был единственным допустимым, то есть $$a\le 0$$ не подходит, а при $$a>1$$ корень $$x=a$$ не совпадает с $$x=1$$ и даёт второй корень.
Значит, единственное решение уравнение имеет при $$a\ge 1$$ или $$a=0.$$