Упр.14.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) vx (x-1) > 0; 2) vx (x-1)?0; 3) vx (x-1) < 0; 4) vx (x-1)?0; 5) x/v(x-1) > 0; 6) x/v(x-1)?0;
7) x/v(x-1) < 0; 8) x/v(x-1)?0.

1. $$\sqrt{x}(x-1)>0$$

   Произведение положительно, когда оба множителя положительны:

   $$ \begin{cases} x>0,\\ x-1>0 \end{cases} \Rightarrow x>1. $$

   Ответ: $$(1;+\infty).$$

2. $$\sqrt{x}(x-1)\ge 0$$

   Произведение неотрицательно, когда оба множителя неотрицательны:

   $$ \begin{cases} x\ge 0,\\ x-1\ge 0 \end{cases} \Rightarrow x\ge 1. $$

   Кроме того, при $$x=0$$ имеем $$\sqrt{0}(0-1)=0$$, значит, это значение тоже подходит.

   Ответ: $$\{0\}\cup[1;+\infty).$$

3. $$\sqrt{x}(x-1)<0$$

   Произведение отрицательно, когда множители разных знаков. Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то нужно:

   $$ \begin{cases} x>0,\\ x-1<0 \end{cases} \Rightarrow 0<x<1. $$

   Ответ: $$(0;1).$$

4. $$\sqrt{x}(x-1)\le 0$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то неравенство выполняется при

   $$ \begin{cases} x\ge 0,\\ x-1\le 0 \end{cases} \Rightarrow 0\le x\le 1. $$

   Ответ: $$[0;1].$$

5. $$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}>0$$

   Область определения: $$x-1>0$$, то есть $$x>1$$. При этом знаменатель положителен, значит дробь положительна, когда $$x>0$$.

   Совмещаем условия:

   $$x>1.$$

   Ответ: $$(1;+\infty).$$

6. $$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 0$$

   Область определения: $$x>1$$. Тогда знаменатель положителен, и нужно лишь $$x\ge 0$$.

   Следовательно,

   $$x>1.$$

   Ответ: $$(1;+\infty).$$

7. $$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}<0$$

   При $$x>1$$ знаменатель положителен, а числитель $$x>0$$. Значит, дробь не может быть отрицательной.

   Ответ: $$\varnothing.$$

8. $$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\le 0$$

   Область определения: $$x>1$$. При этом числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь всегда положительна.

   Решений нет.

   Ответ: $$\varnothing.$$