Упр.14.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$\sqrt{x}(x-1)>0$$;
2) $$\sqrt{x}(x-1)\geqslant 0$$;
3) $$\sqrt{x}(x-1)<0$$;
4) $$\sqrt{x}(x-1)\leqslant 0$$;
5) $$\frac{x}{\sqrt{x-1}}>0$$;
6) $$\frac{x}{\sqrt{x-1}}\geqslant 0$$;
7) $$\frac{x}{\sqrt{x-1}}<0$$;
8) $$\frac{x}{\sqrt{x-1}}\leqslant 0$$.
$$\sqrt{x}(x-1)>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя положительны:
$$\begin{cases} x>0,\\ x-1>0 \end{cases} \Rightarrow x>1.$$
Ответ: $$(1;+\infty).$$
$$\sqrt{x}(x-1)\ge 0$$
Произведение неотрицательно, когда оба множителя неотрицательны:
$$\begin{cases} x\ge 0,\\ x-1\ge 0 \end{cases} \Rightarrow x\ge 1.$$
Кроме того, при $$x=0$$ имеем $$\sqrt{0}(0-1)=0$$, значит, это значение тоже подходит.
Ответ: $$\{0\}\cup[1;+\infty).$$
$$\sqrt{x}(x-1)<0$$
Произведение отрицательно, когда множители разных знаков. Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то нужно:
$$\begin{cases} x>0,\\ x-1<0 \end{cases} \Rightarrow 0<x<1.$$
Ответ: $$(0;1).$$
$$\sqrt{x}(x-1)\le 0$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то неравенство выполняется при
$$\begin{cases} x\ge 0,\\ x-1\le 0 \end{cases} \Rightarrow 0\le x\le 1.$$
Ответ: $$[0;1].$$
$$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}>0$$
Область определения: $$x-1>0$$, то есть $$x>1$$. При этом знаменатель положителен, значит дробь положительна, когда $$x>0$$.
Совмещаем условия:
$$x>1.$$
Ответ: $$(1;+\infty).$$
$$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 0$$
Область определения: $$x>1$$. Тогда знаменатель положителен, и нужно лишь $$x\ge 0$$.
Следовательно,
$$x>1.$$
Ответ: $$(1;+\infty).$$
$$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}<0$$
При $$x>1$$ знаменатель положителен, а числитель $$x>0$$. Значит, дробь не может быть отрицательной.
Ответ: $$\varnothing.$$
$$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\le 0$$
Область определения: $$x>1$$. При этом числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь всегда положительна.
Решений нет.
Ответ: $$\varnothing.$$
