Упр.14.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) vx (x+1) > 0; 2) vx (x+1)?0; 3) vx (x+1) < 0; 4) vx (x+1)?0; 5) x/v(x+1) > 0; 6) x/v(x+1)?0;
7) x/v(x+1) < 0; 8) x/v(x+1)?0.

1. $$\sqrt{x}(x+1)>0$$

   Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны быть положительными:

   $$\begin{cases} x>0,\\ x+1>0 \end{cases}$$

   Отсюда $$x>0$$.

   Ответ: $$(0;+\infty)$$.

2. $$\sqrt{x}(x+1)\ge 0$$

   Произведение неотрицательно, если оба множителя неотрицательны:

   $$\begin{cases} x\ge 0,\\ x+1\ge 0 \end{cases}$$

   Отсюда $$x\ge 0$$.

   Ответ: $$[0;+\infty)$$.

3. $$\sqrt{x}(x+1)<0$$

   Для отрицательного произведения нужно, чтобы один множитель был положительным, а другой отрицательным. Но $$\sqrt{x}\ge 0$$, значит отрицательным оно быть не может.

   Ответ: $$\varnothing$$.

4. $$\sqrt{x}(x+1)\le 0$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, произведение не положительно только при

   $$\sqrt{x}=0.$$

   Тогда $$x=0$$.

   Ответ: $$\{0\}$$.

5. $$\frac{x}{\sqrt{x+1}}>0$$

   Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака. При этом знаменатель должен быть определён и отличен от нуля:

   $$x+1>0.$$

   Так как $$\sqrt{x+1}>0$$, нужно $$x>0$$.

   Ответ: $$(0;+\infty)$$.

6. $$\frac{x}{\sqrt{x+1}}\ge 0$$

   При $$\sqrt{x+1}>0$$ дробь неотрицательна, если $$x\ge 0$$.

   С учётом области определения получаем $$x\ge 0$$.

   Ответ: $$[0;+\infty)$$.

7. $$\frac{x}{\sqrt{x+1}}<0$$

   Дробь отрицательна, если числитель отрицателен, а знаменатель положителен:

   $$\begin{cases} x<0,\\ x+1>0 \end{cases}$$

   Отсюда

   $$-1Ответ: $$(-1;0)$$.

8. $$\frac{x}{\sqrt{x+1}}\le 0$$

   Дробь не положительна, если $$x\le 0$$, а знаменатель положителен:

   $$\begin{cases} x\le 0,\\ x+1>0 \end{cases}$$

   Получаем

   $$-1Ответ: $$(-1;0]$$.