Упр.14.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:

1) $$\sqrt{x}=-|x|$$; 2) $$\left(\sqrt{x}\right)^2=|x|$$; 3) $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$; 4) $$\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-1}=0$$; 5) $$(x-2)\sqrt{x-3}=0$$; 6) $$(x-1)(\sqrt{x}+1)=0$$; 7) $$(x+1)(\sqrt{x}-1)=0$$; 8) $$(x^2-16)\sqrt{x-3}=0$$.

Подробный ответ

$$\sqrt{x}=-|x|$$
Левая часть неотрицательна, правая неположительна. Значит, обе части равны нулю:
$$\sqrt{x}=0,\quad |x|=0$$
$$x=0.$$
$$\left(\sqrt{x}\right)^2=|x|$$
Так как $$\left(\sqrt{x}\right)^2=x$$ и $$x\ge 0$$, получаем:
$$x=|x|$$
Это верно при $$x\ge 0$$.
$$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$
Область определения: $$x\ge 0$$ и $$x\le 0$$, значит $$x=0$$. Проверка:
$$\sqrt{0}+\sqrt{-0}=0\ne 1.$$
Решений нет.
$$\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-1}=0$$
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$\sqrt{x^2-2x+1}=0,\quad \sqrt{x^2-1}=0$$
$$x^2-2x+1=0,\quad x^2-1=0$$
$$x=1,\quad x=\pm 1.$$
Общее решение: $$x=1$$.
$$\left(x-2\right)\sqrt{x-3}=0$$
ОДЗ: $$x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge 3$$.
$$x-2=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-3}=0$$
$$x=2 \quad \text{или} \quad x-3=0$$
Значение $$x=2$$ не подходит по ОДЗ, а $$x=3$$ подходит.
$$\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0$$
ОДЗ: $$x\ge 0$$.
$$x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x}+1=0$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad \sqrt{x}=-1$$
Второе уравнение решений не имеет, поэтому:
$$x=1.$$
$$\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0$$
ОДЗ: $$x\ge 0$$.
$$x+1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x}-1=0$$
$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=1$$
Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит:
$$x=1.$$
$$\left(x^2-16\right)\sqrt{x-3}=0$$
ОДЗ: $$x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge 3$$.
$$x^2-16=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-3}=0$$
$$x=\pm 4 \quad \text{или} \quad x=3$$
Значение $$x=-4$$ не подходит по ОДЗ. Остаются:
$$x=3,\quad x=4.$$