Упр.14.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении $$x$$:

1. $$\sqrt{x^2+8x+15}$$;
2. $$\sqrt{x^2-10x+27}$$?

1) Рассмотрим выражение

$$\sqrt{x^2+8x+15}.$$

Чтобы оно имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2+8x+15\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5).$$

Тогда

$$(x+3)(x+5)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge -3.$$

Значит, первое выражение не имеет смысла при всех значениях $$x$$.

2) Рассмотрим выражение

$$\sqrt{x^2-10x+27}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$x^2-10x+27=x^2-10x+25+2=(x-5)^2+2.$$

Так как $$(x-5)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то

$$(x-5)^2+2>0$$

при любом значении $$x$$.

Следовательно, второе выражение имеет смысл при любом значении $$x$$.

Ответ

2) $$\sqrt{x^2-10x+27}$$.