Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Найдите область определения выражения: 1) $$\frac{1}{\sqrt{y}-1}$$; 2) $$\frac{1}{\sqrt{y}+1}$$; 3) $$\sqrt{y^2-y+\frac{1}{4}}$$; 4) $$\sqrt{y-\frac{y^2}{4}-1}$$.

1. $$\frac{1}{\sqrt{y}-1}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:

   $$\begin{cases} y \ge 0,\\ \sqrt{y}-1 \ne 0 \end{cases}$$

   Отсюда

   $$\begin{cases} y \ge 0,\\ y \ne 1 \end{cases}$$

   Значит, область определения:

   $$[0;1)\cup(1;+\infty).$$

2. $$\frac{1}{\sqrt{y}+1}$$

   Требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$y \ge 0.$$

   Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль. Но $$\sqrt{y}+1>0$$ при любом $$y \ge 0$$, значит дополнительных ограничений нет.

   Следовательно, область определения:

   $$[0;+\infty).$$

3. $$\sqrt{y^2-y+\frac14}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$y^2-y+\frac14 \ge 0.$$

   Преобразуем:

   $$y^2-y+\frac14=\left(y-\frac12\right)^2 \ge 0.$$

   Это верно при любом значении $$y$$.

   Следовательно, область определения:

   $$(-\infty;+\infty).$$

4. $$\sqrt{y-\frac{y^2}{4}-1}$$

   Требуется:

   $$y-\frac{y^2}{4}-1 \ge 0.$$

   Умножим на $$4$$:

   $$4y-y^2-4 \ge 0$$

   $$y^2-4y+4 \le 0$$

   $$(y-2)^2 \le 0.$$

   Квадрат числа не может быть отрицательным, значит возможно только равенство нулю:

   $$y-2=0,\quad y=2.$$

   Следовательно, область определения:

   $$\{2\}.$$

Ответ

1) $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$; 2) $$[0;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$\{2\}$$.