Упр.135 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Верно ли утверждение, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(5n+7)^2-(n-1)^2$$ делится нацело на $$48$$?
2. Задание учебника 2019 года. За первый день трёхдневной гонки велосипедисты проехали $$\frac{4}{15}$$ всего маршрута, за второй день — $$\frac{2}{5}$$ всего маршрута, а за третий — оставшиеся $$90\ \text{км}$$. Какое расстояние проехали велосипедисты за три дня?

1) Проверим, делится ли выражение $$(5n+7)^2-(n-1)^2$$ нацело на $$48$$ при любом натуральном $$n$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$(5n+7)^2-(n-1)^2=((5n+7)-(n-1))((5n+7)+(n-1))$$

$$=(4n+8)(6n+6)=4(n+2)\cdot 6(n+1)=24(n+2)(n+1).$$

Произведение $$(n+2)(n+1)$$ — это произведение двух соседних натуральных чисел, значит, одно из них чётное. Следовательно, $$(n+2)(n+1)$$ делится на $$2$$.

Тогда выражение $$24(n+2)(n+1)$$ делится на $$24\cdot 2=48$$.

Значит, утверждение верно.

2) Пусть весь маршрут составляет $$x$$ км. Тогда:

$$\frac{4}{15}x+\frac{2}{5}x+90=x$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{4}{15}x+\frac{6}{15}x+90=x$$

$$\frac{10}{15}x+90=x$$

$$\frac{2}{3}x+90=x$$

$$90=x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$$

$$x=270$$

Ответ

1) Да, делится нацело на $$48$$. 2) $$270$$ км.