Упр.130 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+c) + (a+c)/(a+b) = 4. Докажите тождество:
1/(1-a) + 1/(1+a) + 2/(1+a2) + 4/(1+a4) + 8/(1+a8) + 16/(1+a16) = 32/(1-a32).

Пусть

$$ x=\frac{a-c}{b+c},\quad y=\frac{b-a}{a+c},\quad z=\frac{c-b}{a+b}. $$
Тогда по условию
$$ x+y+z=1. $$
Нужно доказать, что
$$ \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}=4. $$

Заметим, что

$$ \frac{a+b}{b+c}=1+\frac{a-c}{b+c}=1+x, $$
$$ \frac{b+c}{a+c}=1+\frac{b-a}{a+c}=1+y, $$
$$ \frac{a+c}{a+b}=1+\frac{c-b}{a+b}=1+z. $$

Тогда

$$ \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b} =(1+x)+(1+y)+(1+z)=3+(x+y+z)=3+1=4. $$

Ход решения

Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a} =\frac{(1+a)+(1-a)}{(1-a)(1+a)} =\frac{2}{1-a^2}. $$

Тогда

$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4}. $$

Аналогично:

$$ \frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8} =\frac{4(1+a^8)+8(1+a^4)}{(1+a^4)(1+a^8)}, $$

и, последовательно объединяя пары слагаемых, получаем цепочку

$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}. $$

Ответ

$$ \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}=4, \qquad \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}. $$