Упр.130 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$\frac{a-c}{b+c}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{c-b}{a+b}=1$$, то $$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}=4$$.
2. Докажите тождество: $$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}$$.

Пусть

$$x=\frac{a-c}{b+c},\quad y=\frac{b-a}{a+c},\quad z=\frac{c-b}{a+b}.$$
Тогда по условию
$$x+y+z=1.$$
Нужно доказать, что
$$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}=4.$$

Заметим, что

$$\frac{a+b}{b+c}=1+\frac{a-c}{b+c}=1+x,$$
$$\frac{b+c}{a+c}=1+\frac{b-a}{a+c}=1+y,$$
$$\frac{a+c}{a+b}=1+\frac{c-b}{a+b}=1+z.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b} =(1+x)+(1+y)+(1+z)=3+(x+y+z)=3+1=4.$$

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a} =\frac{(1+a)+(1-a)}{(1-a)(1+a)} =\frac{2}{1-a^2}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4}.$$

Аналогично:

$$\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8} =\frac{4(1+a^8)+8(1+a^4)}{(1+a^4)(1+a^8)},$$

и, последовательно объединяя пары слагаемых, получаем цепочку

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}.$$

Ответ

$$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}=4, \qquad \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}.$$