Упр.128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Докажите тождество: $$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}$$.
- Упростите выражение: $$\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}$$.
1) Преобразуем левую часть:
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}$$
$$=\frac{1+a}{(1-a)(1+a)}+\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}$$
$$=\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}.$$
Далее последовательно объединяем пары:
$$\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4},$$
$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{8}{1-a^8},$$
$$\frac{8}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8} =\frac{16}{1-a^{16}},$$
$$\frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}.$$
Значит,
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}.$$
Тождество доказано.
2) Упростим выражение:
$$\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}.$$
Раскроем скобки в числителе:
$$(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)$$
$$= a^2-7a+12+a^2-5a+4+a^2-3a+2$$
$$=3a^2-15a+18 =3(a^2-5a+6) =3(a-2)(a-3).$$
Тогда
$$\frac{3(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)} =\frac{3}{(a-1)(a-4)}.$$
Ответ
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}},$$
$$\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)} =\frac{3}{(a-1)(a-4)}.$$
