Упр.128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/(1-a) + 1/(1+a) + 2/(1+a2) + 4/(1+a4) + 8/(1+a8) + 16/(1+a16) = 32/(1-a32). Упростите выражение:
1/((a-1)(a-2)) + 1/((a-2)(a-3)) + 1/((a-3)(a-4)).

1) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} $$
$$ =\frac{1+a}{(1-a)(1+a)}+\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} $$
$$ =\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}. $$

Далее последовательно объединяем пары:

$$ \frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4}, $$
$$ \frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{8}{1-a^8}, $$
$$ \frac{8}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8} =\frac{16}{1-a^{16}}, $$
$$ \frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}. $$

Значит,

$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}. $$

Тождество доказано.

2) Упростим выражение:

$$ \frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2) $$
$$ = a^2-7a+12+a^2-5a+4+a^2-3a+2 $$
$$ =3a^2-15a+18 =3(a^2-5a+6) =3(a-2)(a-3). $$

Тогда

$$ \frac{3(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)} =\frac{3}{(a-1)(a-4)}. $$

Ответ

$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}, $$
$$ \frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)} =\frac{3}{(a-1)(a-4)}. $$