Упр.127 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Упростите выражение: $$\frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите тождество: $$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1$$.

1) Упростим выражение

$$\frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(a-5)(a-7)+(a-1)(a-7)+(a-1)(a-3)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a-5)(a-7)+(a-1)(a-7)+(a-1)(a-3)$$
$$= a^2-12a+35+a^2-8a+7+a^2-4a+3$$
$$= 3a^2-24a+45$$

Тогда

$$\frac{3a^2-24a+45}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)} = \frac{3(a^2-8a+15)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$a^2-8a+15=(a-3)(a-5)$$

Сокращаем:

$$\frac{3(a-3)(a-5)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)} = \frac{3}{(a-1)(a-7)}$$

2) Докажем тождество

$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1$$

Приведём к общему знаменателю, учитывая, что $$b-a=-(a-b)$$, $$c-a=-(a-c)$$, $$c-b=-(b-c)$$:

$$\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Раскроем скобки в числителе:

$$bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)$$
$$= b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2$$
$$= (a-b)(a-c)(b-c)$$

Следовательно,

$$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac{3}{(a-1)(a-7)}$$
; $$1$$.