Упр.127 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/((a-1)(a-3)) + 1/((a-3)(a-5)) + 1/((a-5)(a-7)). Докажите тождество:
bc/((a-b)(a-c)) + ac/((b-a)(b-c)) + ab/((c-a)(c-b)) = 1.

1) Упростим выражение

$$ \frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(a-5)(a-7)+(a-1)(a-7)+(a-1)(a-3)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a-5)(a-7)+(a-1)(a-7)+(a-1)(a-3) $$
$$ = a^2-12a+35+a^2-8a+7+a^2-4a+3 $$
$$ = 3a^2-24a+45 $$

Тогда

$$ \frac{3a^2-24a+45}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)} = \frac{3(a^2-8a+15)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)} $$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$ a^2-8a+15=(a-3)(a-5) $$

Сокращаем:

$$ \frac{3(a-3)(a-5)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)} = \frac{3}{(a-1)(a-7)} $$

2) Докажем тождество

$$ \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1 $$

Приведём к общему знаменателю, учитывая, что $$b-a=-(a-b)$$, $$c-a=-(a-c)$$, $$c-b=-(b-c)$$:

$$ \frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1 $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b) $$
$$ = b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2 $$
$$ = (a-b)(a-c)(b-c) $$

Следовательно,

$$ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1 $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{3}{(a-1)(a-7)} $$
; $$1$$.