Упр.126 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Упростите выражение: $$\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите тождество: $$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$.

1) Упростим выражение

$$\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)$$
$$= a^2-7a+12+a^2-5a+4+a^2-3a+2$$
$$= 3a^2-15a+18$$
$$= 3(a^2-5a+6)$$
$$= 3(a-2)(a-3)$$

Тогда

$$\frac{3(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}=\frac{3}{(a-1)(a-4)}$$

2) Докажем тождество

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$

Так как $$c-a=-(a-c)$$ и $$c-b=-(b-c)$$, то

$$\frac{1}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{(a-c)(b-c)}$$

Тогда левая часть равна

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}$$

Приведём к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:

$$\frac{b-c-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$

$$\frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

Ответ

$$\frac{3}{(a-1)(a-4)}$$

Тождество верно.