Упр.125 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Докажите тождество: $$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1$$.
- Докажите тождества:
1) $$\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a-3}{3a}$$;
2) $$\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b-8a}=\frac{2}{2a-1}$$.
1) Приведём дроби к общему знаменателю:
$$\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2} = \frac{a+3}{a(a-3)}+\frac{a-3}{3(a+3)}-\frac{12}{(a-3)(a+3)}.$$
Общий знаменатель: $$3a(a-3)(a+3).$$ Тогда
$$\frac{3(a+3)^2+a(a-3)^2-36a}{3a(a-3)(a+3)}.$$
Раскроем скобки в числителе:
$$3(a^2+6a+9)+a(a^2-6a+9)-36a = a^3-3a^2-9a+27.$$
Вынесем множители:
$$a^3-3a^2-9a+27=(a-3)(a^2-9)=(a-3)^2(a+3).$$
Тогда
$$\frac{(a-3)^2(a+3)}{3a(a-3)(a+3)}=\frac{a-3}{3a}.$$
Следовательно, тождество верно.
2) Преобразуем вторую часть:
$$2ab-4-b+8a=b(2a-1)+4(2a-1)=(2a-1)(b+4).$$
Тогда
$$\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a} = \frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{(2a-1)(b+4)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)}{(2a-1)(b+4)}.$$
Упростим числитель:
$$(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24) = b^2-16-b^2+2b+24 = 2b+8 = 2(b+4).$$
Получаем:
$$\frac{2(b+4)}{(2a-1)(b+4)}=\frac{2}{2a-1}.$$
Тождество доказано.
3) Для первого тождества:
$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1.$$
Заменим $$b-a=-(a-b)$$ и $$c-a=-(a-c)$$:
$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}-\frac{ac}{(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{(a-c)(b-c)}.$$
Приведём к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:
$$\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$
Числитель:
$$bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b) = b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2.$$
Сгруппируем:
$$(b^2c-ab^2)-(bc^2-a^2b)-(a^2c-ac^2) = b^2(c-a)-bc(c-a)+ac(c-a).$$
Вынесем общий множитель:
$$(c-a)(b^2-bc-ab+ac) = (c-a)(b-a)(b-c).$$
Так как $$c-a=-(a-c)$$, то
$$\frac{(c-a)(b-a)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1.$$
Тождество доказано.
Ответ
$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1;$$
$$\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a-3}{3a};$$
$$\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}=\frac{2}{2a-1}.$$
