Упр.124 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1/((a-b)(a-c)) — 1/((a-b)(b-c)) + 1/((c-a)(c-b)) = 0. Упростите выражение:
1) 4b/(a2-b2)+(a-b)/(a2+ab) + (a+b)/(b2-ab);

Подробный ответ

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$$
Так как $$c-a=-(a-c)$$, то
$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}-\frac{1}{(a-c)(b-c)}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0 $$
$$\frac{4b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+ab}+\frac{a+b}{b^2-ab}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad a^2+ab=a(a+b), \quad b^2-ab=b(b-a) $$
Тогда
$$ \frac{4b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{a(a+b)}+\frac{a+b}{b(b-a)} $$
Приведём к общему знаменателю $$ab(a-b)(a+b)$$:
$$ \frac{4ab^2+b(a-b)^2-a(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)} $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ 4ab^2+b(a^2-2ab+b^2)-a(a^2+2ab+b^2) $$
$$ =4ab^2+a^2b-2ab^2+b^3-a^3-2a^2b-ab^2 $$
$$ =ab^2-a^2b+b^3-a^3 $$
Сгруппируем:
$$ ab(b-a)+(b-a)(b^2+ab+a^2) $$
$$ =(b-a)(ab+b^2+ab+a^2)=-(a-b)(a+b)^2 $$
Тогда
$$ \frac{-(a-b)(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)}=-\frac{a+b}{ab} $$