Упр.121 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(3a2+24)/(a3+8) — 6/(a2-2a+4) — 1/(a+2) = 2/(a+2). Найдите разность дробей:
1) (a+1)/(a3-1) — 1/(a2+a+1);
2) 1/(b+3) — (b2 — 6b)/(b3+27).

1) Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{3a^2+24}{a^3+8}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2} $$

Так как

$$ a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4), $$

то

$$ \frac{3a^2+24}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{3a^2+24-6(a+2)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$

Упростим числитель:

$$ 3a^2+24-6a-12-a^2+2a-4=2a^2-4a+8=2(a^2-2a+4). $$

Тогда

$$ \frac{2(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{2}{a+2}. $$

Тождество доказано.

2) Найдём разность дробей:

$$ \frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}. $$

Разложим знаменатель:

$$ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). $$

Тогда

$$ \frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1}{a^2+a+1} = \frac{a+1-(a-1)}{a^3-1} = \frac{2}{a^3-1}. $$

3) Найдём разность дробей:

$$ \frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{b^3+27}. $$

Так как

$$ b^3+27=(b+3)(b^2-3b+9), $$

то

$$ \frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{(b+3)(b^2-3b+9)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{b^2-3b+9-(b^2-6b)}{b^3+27} = \frac{3b+9}{b^3+27} = \frac{3(b+3)}{(b+3)(b^2-3b+9)} = \frac{3}{b^2-3b+9}. $$

Ответ

$$ \frac{2}{a+2},\quad \frac{2}{a^3-1},\quad \frac{3}{b^2-3b+9} $$