Упр.120 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задание учебника 2025 года

1. Упростите выражение:
   
   1) $$\frac{9m^2-3mn+n^2}{3m-n}-\frac{9m^2+3mn+n^2}{3m+n}$$;
   
   2) $$1-\frac{2b-1}{4b^2-2b+1}-\frac{2b}{2b+1}$$.

Задание учебника 2019 года

1. Докажите тождество:
   
   1) $$\frac{1}{6a-4b}-\frac{1}{6a+4b}-\frac{3a}{4b^2-9a^2}=\frac{1}{3a-2b}$$;
   
   2) $$\frac{c+2}{c^2+3c}-\frac{1}{3c+9}-\frac{2}{3c}=0$$.

1. $$\frac{9m^2-3mn+n^2}{3m-n}-\frac{9m^2+3mn+n^2}{3m+n}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(3m+n)(9m^2-3mn+n^2)-(3m-n)(9m^2+3mn+n^2)}{(3m-n)(3m+n)}$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$27m^3+n^3-27m^3-n^3=2n^3$$

   Тогда
   $$\frac{2n^3}{9m^2-n^2}.$$

2. $$1-\frac{2b-1}{4b^2-2b+1}-\frac{2b}{2b+1}$$

   Заметим, что
   $$4b^2-2b+1=(2b+1)(2b-1)+2?$$

   Удобнее привести к общему знаменателю:
   $$1-\frac{2b-1}{4b^2-2b+1}-\frac{2b}{2b+1} = \frac{(2b+1)(4b^2-2b+1)-(2b-1)(2b+1)-2b(4b^2-2b+1)}{(2b+1)(4b^2-2b+1)}$$

   Числитель:
   $$(2b+1)(4b^2-2b+1)-(2b-1)(2b+1)-2b(4b^2-2b+1)=2-2b$$

   Поэтому
   $$\frac{2-2b}{8b^3+1}.$$

3. $$\frac{1}{6a-4b}-\frac{1}{6a+4b}-\frac{3a}{4b^2-9a^2}$$

   Разложим знаменатели:
   $$6a-4b=2(3a-2b), \quad 6a+4b=2(3a+2b), \quad 4b^2-9a^2=-(3a-2b)(3a+2b)$$

   Тогда
   $$\frac{1}{2(3a-2b)}-\frac{1}{2(3a+2b)}+\frac{3a}{(3a-2b)(3a+2b)}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{3a+2b-3a+2b+6a}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{2(3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{1}{3a-2b}$$

4. $$\frac{c+2}{c^2+3c}-\frac{1}{3c+9}-\frac{2}{3c}$$

   Разложим знаменатели:
   $$c^2+3c=c(c+3), \quad 3c+9=3(c+3)$$

   Тогда
   $$\frac{c+2}{c(c+3)}-\frac{1}{3(c+3)}-\frac{2}{3c}$$

   Приведём к общему знаменателю $$3c(c+3)$$:
   $$\frac{3(c+2)-c-2(c+3)}{3c(c+3)}=\frac{3c+6-c-2c-6}{3c(c+3)}=\frac{0}{3c(c+3)}=0$$

Ответ

1) $$\frac{2n^3}{9m^2-n^2}$$

2) $$\frac{2-2b}{8b^3+1}$$

3) $$\frac{1}{3a-2b}$$

4) $$0$$