Упр.12.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1}\cdot(3a+2)^{-1}$$.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1}\cdot(3a+2)^{-1}$$

Сначала упростим первую скобку:

$$\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3} =\frac{3a^2+4+8a}{24a} =\frac{3a^2+8a+4}{24a}$$

Разложим числитель на множители:

$$3a^2+8a+4=(3a+2)(a+2)$$

Тогда

$$\left(\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3}\right) =\frac{(3a+2)(a+2)}{24a}$$

Теперь заменим степени с показателем $$-1$$ на обратные дроби:

$$\left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1}=\frac{12a}{a+2}, \qquad (3a+2)^{-1}=\frac{1}{3a+2}$$

Подставим и сократим:

$$\frac{(3a+2)(a+2)}{24a}\cdot\frac{12a}{a+2}\cdot\frac{1}{3a+2}$$

$$=\frac{1}{24a}\cdot 12a=\frac{12a}{24a}=\frac{1}{2}$$

При этом должны выполняться условия: $$a\neq 0,\ a\neq -2,\ a\neq -\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$\frac{1}{2}$$