Упр.12.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 12.32. Упростите выражение (a/8+1/6a+1/3)•((a+2)/12a)^(-1)•(3a+2)^(-1).

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1}\cdot(3a+2)^{-1} $$

Сначала упростим первую скобку:

$$ \frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3} =\frac{3a^2+4+8a}{24a} =\frac{3a^2+8a+4}{24a} $$

Разложим числитель на множители:

$$ 3a^2+8a+4=(3a+2)(a+2) $$

Тогда

$$ \left(\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3}\right) =\frac{(3a+2)(a+2)}{24a} $$

Теперь заменим степени с показателем $-1$ на обратные дроби:

$$ \left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1}=\frac{12a}{a+2}, \qquad (3a+2)^{-1}=\frac{1}{3a+2} $$

Подставим и сократим:

$$ \frac{(3a+2)(a+2)}{24a}\cdot\frac{12a}{a+2}\cdot\frac{1}{3a+2} $$

$$ =\frac{1}{24a}\cdot 12a=\frac{12a}{24a}=\frac{1}{2} $$

При этом должны выполняться условия: $$a\neq 0,\ a\neq -2,\ a\neq -\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$ \frac{1}{2} $$