Упр.12.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 12.31. При каких значениях параметра a множество корней уравнения |x-3|+|x-a|=a-3 содержит одно четное число? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 12-31 827

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$|x-3|+|x-a|=a-3.$$

Левая часть — сумма расстояний от точки $x$ до точек $3$ и $a$. Такая сумма равна длине отрезка между точками $3$ и $a$ только тогда, когда $x$ лежит между ними. Значит, множество корней — все числа из отрезка между $3$ и $a$.

Чтобы корней было ровно одно чётное число, на этом отрезке должно содержаться только одно чётное целое число. Это число — $4$.

Тогда отрезок $[3;a]$ должен содержать $4$, но не содержать $2$ и $6$, то есть

$$4\le a<6.$$

При $a=4$ корень один: $x=4$; при $4<a<6$ среди корней по-прежнему только одно чётное число — $4$.