Упр.12.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ множество корней уравнения $$|x-3|+|x-a|=a-3$$ содержит одно четное число?

Рассмотрим уравнение

$$|x-3|+|x-a|=a-3.$$

Левая часть — сумма расстояний от точки $$x$$ до точек $$3$$ и $$a$$. Такая сумма равна длине отрезка между точками $$3$$ и $$a$$ только тогда, когда $$x$$ лежит между ними. Значит, множество корней — все числа из отрезка между $$3$$ и $$a$$.

Чтобы корней было ровно одно чётное число, на этом отрезке должно содержаться только одно чётное целое число. Это число — $$4$$.

Тогда отрезок $$[3;a]$$ должен содержать $$4$$, но не содержать $$2$$ и $$6$$, то есть

$$4\le a<6.$$

При $$a=4$$ корень один: $$x=4$$; при $$4<a<6$$ среди корней по-прежнему только одно чётное число — $$4$$.

Ответ

$$4\le a<6.$$