Упр.12.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ множество корней уравнения $$|x-1|+|x-a|=1-a$$ содержит три целых числа?

Рассмотрим уравнение

$$|x-1|+|x-a|=1-a.$$

Левая часть — сумма расстояний от точки $$x$$ до точек $$1$$ и $$a$$. Такая сумма равна расстоянию между этими точками только тогда, когда $$x$$ лежит между ними. Значит, множество корней — это все $$x$$ из отрезка между $$a$$ и $$1$$.

Чтобы корней было ровно три целых числа, на отрезке $$[a;1]$$ должны лежать ровно три целых числа: $$-1$$, $$0$$, $$1$$.

Это возможно при

$$-2<a\le -1.$$

Действительно, если $$a\le -2$$, то целых корней будет больше трёх, а если $$a>-1$$, то целых корней станет меньше трёх.

Ответ

$$-2<a\le -1.$$