Упр.12.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что:

1. 1) $$|ab|=|a|\cdot|b|$$;
   2) $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},\ b\ne0$$;
   3) $$\left(|a|\right)^2=|a^2|=a^2$$;
   4) $$|a-b|=|b-a|$$;
   5) $$-|a|\le a\le|a|$$.

1) Так как $$|a|\ge 0$$ и $$|b|\ge 0,$$ то $$|a|\cdot|b|\ge 0.$$ По свойству модуля произведения получаем:

$$|ab|=|a|\cdot|b|.$$

2) При $$b\ne 0$$ имеем $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.$$ Действительно,

$$\left|\frac{a}{b}\right|=\left|a\cdot\frac1b\right|=|a|\cdot\left|\frac1b\right|=\frac{|a|}{|b|}.$$

3) Так как $$|a|\ge 0,$$ то

$$\left(|a|\right)^2=|a|\cdot|a|.$$

С другой стороны, $$|a^2|=a^2,$$ поскольку $$a^2\ge 0.$$ Значит,

$$\left(|a|\right)^2=|a^2|=a^2.$$

4) Поскольку $$a-b=-(b-a),$$ то

$$|a-b|=|-(b-a)|=|b-a|.$$

5) Так как $$|a|\ge a$$ и $$-|a|\le a,$$ то

$$-|a|\le a\le |a|.$$

Следовательно,

$$-|a|\le a\le |a|.$$

Ответ

$$|ab|=|a|\cdot|b|;$$
$$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},\ b\ne 0;$$
$$\left(|a|\right)^2=|a^2|=a^2;$$
$$|a-b|=|b-a|;$$
$$-|a|\le a\le |a|.$$