Упр.12.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) |x-1|+|x+1|=a; 2) |x-2|-|x+2|=a.
1) Рассмотрим функцию $$y=|x-1|+|x+1|.$$
Разобьём ось на промежутки:
$$ \begin{cases} x<-1, & y=(1-x)+(-x-1)=-2x,\\ -1\le x\le 1, & y=(1-x)+(x+1)=2,\\ x>1, & y=(x-1)+(x+1)=2x. \end{cases} $$
Значит, график функции состоит из лучей и отрезка, а её значения таковы: $$y\ge 2.$$
Тогда уравнение $$|x-1|+|x+1|=a$$ имеет:
- если $$a<2$$ — корней нет;
- если $$a=2$$ — бесконечно много корней;
- если $$a>2$$ — два корня.
2) Рассмотрим функцию $$y=|x-2|-|x+2|.$$
Разобьём ось на промежутки:
$$ \begin{cases} x<-2, & y=(2-x)-(-x-2)=4,\\ -2\le x\le 2, & y=(2-x)-(x+2)=-2x,\\ x>2, & y=(x-2)-(x+2)=-4. \end{cases} $$
Следовательно, значения функции лежат в промежутке $$[-4,\,4]$$, причём при $$x\le -2$$ имеем $$y=4$$, а при $$x\ge 2$$ имеем $$y=-4$$.
Тогда уравнение $$|x-2|-|x+2|=a$$ имеет:
- если $$a<-4$$ или $$a>4$$ — корней нет;
- если $$-4<a<4$$ — один корень;
- если $$a=-4$$ или $$a=4$$ — бесконечно много корней.
Ответ
1) $$a<2$$ — корней нет; $$a=2$$ — бесконечно много корней; $$a>2$$ — два корня.
2) $$a<-4$$ или $$a>4$$ — корней нет; $$-4<a<4$$ — один корень; $$a=-4$$ или $$a=4$$ — бесконечно много корней.
