Упр.12.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) |3x-4|=a+x; 2) 2x-|x|+|x-1|=a.

Подробный ответ

$$|3x-4|=a+x \iff a=|3x-4|-x.$$
Рассмотрим функцию $$y=|3x-4|-x.$$ Тогда
$$ y= \begin{cases} 4-3x-x=4-4x, & x<\dfrac{4}{3},\\ 3x-4-x=2x-4, & x\ge \dfrac{4}{3}. \end{cases} $$
Левая ветвь убывает и при $$x=\dfrac{4}{3}$$ даёт значение $$y=-\dfrac{4}{3}.$$ Правая ветвь возрастает и также проходит через точку $$\left(\dfrac{4}{3},-\dfrac{4}{3}\right).$$
Значит, горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график:
- ни разу, если $$a<-\dfrac{4}{3};$$
- один раз, если $$a=-\dfrac{4}{3};$$
- два раза, если $$a>-\dfrac{4}{3}.$$
$$2x-|x|+|x-1|=a.$$
Рассмотрим функцию $$y=2x-|x|+|x-1|.$$ Найдём её по промежуткам:
$$ y= \begin{cases} 2x-(-x)+(-(x-1))=2x+x-x+1=2x+1, & x<0,\\ 2x-x+(1-x)=1, & 0\le x\le 1,\\ 2x-x+(x-1)=2x-1, & x>1. \end{cases} $$
Получаем график: слева луч $$y=2x+1$$, на отрезке $$[0;1]$$ горизонтальный участок $$y=1$$, справа луч $$y=2x-1.$$
Следовательно, прямая $$y=a$$:
- не пересекает график, если $$a\ne 1$$ и при этом $$a<1$$ или $$a>1$$ даёт ровно одно пересечение с соответствующим лучом;
- совпадает с горизонтальным участком, если $$a=1,$$ тогда решений бесконечно много.
Итак, при $$a\ne 1$$ уравнение имеет одно решение, а при $$a=1$$ — бесконечно много решений.