Упр.12.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 2|x+1|-|x-1| > 3;
2) |x-1|-2|x+3| > x+7;
3) |x-1|+|x+3|?4;
4) |x|-2|x+1|+3|x+2|?4.

Подробный ответ

$$2|x+1|-|x-1|>3$$
Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулями сохраняют знак.
1) Если $$x<-1,$$ то
$$2(-x-1)-(-x+1)>3$$
$$-2x-2+x-1>3$$
$$-x>6,$$ откуда $$x<-6.$$
2) Если $$-1\le x\le 1,$$ то
$$2(x+1)-(-x+1)>3$$
$$2x+2+x-1>3$$
$$3x>2,$$ откуда $$x>\frac{2}{3}.$$
С учётом промежутка получаем $$\frac{2}{3}<x\le 1.$$
3) Если $$x>1,$$ то
$$2(x+1)-(x-1)>3$$
$$2x+2-x+1>3$$
$$x>0.$$
С учётом промежутка получаем $$x>1.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-6)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right).$$
$$|x-1|-2|x+3|>x+7$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x<-3,$$ то
$$1-x-2(-x-3)>x+7$$
$$1-x+2x+6>x+7$$
$$0>0,$$ решений нет.
2) Если $$-3\le x\le 1,$$ то
$$1-x-2(x+3)>x+7$$
$$1-x-2x-6>x+7$$
$$-4x>12,$$ откуда $$x<-3,$$ что не подходит промежутку.
3) Если $$x>1,$$ то
$$x-1-2(x+3)>x+7$$
$$x-1-2x-6>x+7$$
$$-2x>14,$$ откуда $$x<-7,$$ что не подходит промежутку.
Следовательно, решений нет.
$$|x-1|+|x+3|\le 4$$
1) Если $$x<-3,$$ то
$$1-x-3\le 4$$
$$-2x\le 6,$$ откуда $$x\ge -3,$$ что не подходит.
2) Если $$-3\le x\le 1,$$ то
$$1-x+x+3\le 4$$
$$4\le 4,$$ верно при всех $$x$$ из этого промежутка.
3) Если $$x>1,$$ то
$$x-1+x+3\le 4$$
$$2x\le 2,$$ откуда $$x\le 1,$$ что не подходит.
Значит,
$$x\in[-3;1].$$
$$|x|-2|x+1|+3|x+2|\ge 4$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x<-2,$$ то
$$-x-2(-x-1)+3(-x-2)\ge 4$$
$$-x+2x+2-3x-6\ge 4$$
$$-2x\ge 8,$$ откуда $$x\le -4.$$
2) Если $$-2\le x<-1,$$ то
$$-x-2(-x-1)+3(x+2)\ge 4$$
$$-x+2x+2+3x+6\ge 4$$
$$4x\ge -4,$$ откуда $$x\ge -1,$$ что не подходит промежутку.
3) Если $$-1\le x\le 0,$$ то
$$-x-2(x+1)+3(x+2)\ge 4$$
$$-x-2x-2+3x+6\ge 4$$
$$0x\ge 0,$$ верно при всех $$x$$ из этого промежутка.
4) Если $$x>0,$$ то
$$x-2(x+1)+3(x+2)\ge 4$$
$$x-2x-2+3x+6\ge 4$$
$$2x\ge 0,$$ откуда $$x\ge 0.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-4]\cup[-1;+\infty).$$