Упр.12.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) |x+1|+|x+2| > 2x+3;
2) 2|x-3|+|x+1|?3x+1;
3) |x+1|+|x-1|?2;
4) |x|-2|x-2|+3|x+5|?2x.

Подробный ответ

$$|x+1|+|x+2|>2x+3$$
Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулем сохраняют знак.
1) Если $$x<-2$$, то
$$-(x+1)- (x+2)>2x+3$$
$$-2x-3>2x+3$$
$$-4x>6$$
$$x<-\frac{3}{2}$$
С учётом условия $$x<-2$$ получаем $$x<-2$$.
2) Если $$-2\le x\le -1$$, то
$$-(x+1)+(x+2)>2x+3$$
$$1>2x+3$$
$$2x<-2$$
$$x<-1$$
С учётом промежутка $$-2\le x\le -1$$ получаем $$-2\le x<-1$$.
3) Если $$x>-1$$, то
$$x+1+x+2>2x+3$$
$$2x+3>2x+3$$
Это неверно, решений нет.
Итак, $$x<-1$$.
$$2|x-3|+|x+1|\le 3x+1$$
1) Если $$x<-1$$, то
$$2(3-x)+(-x-1)\le 3x+1$$
$$6-2x-x-1\le 3x+1$$
$$5-3x\le 3x+1$$
$$4\le 6x$$
$$x\ge \frac{2}{3}$$
Противоречие с $$x<-1$$, решений нет.
2) Если $$-1\le x\le 3$$, то
$$2(3-x)+(x+1)\le 3x+1$$
$$6-2x+x+1\le 3x+1$$
$$6\le 4x$$
$$x\ge \frac{3}{2}$$
Получаем $$\frac{3}{2}\le x\le 3$$.
3) Если $$x>3$$, то
$$2(x-3)+(x+1)\le 3x+1$$
$$2x-6+x+1\le 3x+1$$
$$-5\le 0$$
Это верно при всех $$x>3$$.
Значит, $$x\in \left[\frac{3}{2};+\infty\right)$$.
$$|x+1|+|x-1|\le 2$$
1) Если $$x<-1$$, то
$$-(x+1)- (x-1)\le 2$$
$$-2x\le 2$$
$$x\ge -1$$
Противоречие, решений нет.
2) Если $$-1\le x\le 1$$, то
$$x+1+1-x\le 2$$
$$2\le 2$$
Это верно при всех $$x$$ из данного промежутка.
3) Если $$x>1$$, то
$$x+1+x-1\le 2$$
$$2x\le 2$$
$$x\le 1$$
Противоречие, решений нет.
Следовательно, $$x\in[-1;1]$$.
$$|x|-2|x-2|+3|x+5|\ge 2x$$
Рассмотрим промежутки, заданные точками $$-5$$, $$0$$ и $$2$$.
1) Если $$x<-5$$, то
$$-x-2(2-x)+3(-x-5)\ge 2x$$
$$-x-4+2x-3x-15\ge 2x$$
$$-2x-19\ge 2x$$
$$-4x\ge 19$$
$$x\le -\frac{19}{4}$$
С учётом условия $$x<-5$$ получаем $$x<-5$$.
2) Если $$-5\le x<0$$, то
$$-x-2(2-x)+3(x+5)\ge 2x$$
$$-x-4+2x+3x+15\ge 2x$$
$$2x+11\ge 0$$
$$x\ge -\frac{11}{2}$$
Получаем $$-5\le x<0$$.
3) Если $$0\le x\le 2$$, то
$$x-2(2-x)+3(x+5)\ge 2x$$
$$x-4+2x+3x+15\ge 2x$$
$$4x+11\ge 0$$
Это верно при всех $$x$$ из данного промежутка.
4) Если $$x>2$$, то
$$x-2(x-2)+3(x+5)\ge 2x$$
$$x-2x+4+3x+15\ge 2x$$
$$2x+19\ge 2x$$
Это верно при всех $$x>2$$.
Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $$x$$.